Question

如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，OD⊥BC于點D，過點C作⊙O的切線，交OD的延長線于點E，連接BE．
（1）求證：BE與⊙O相切；
（2）設(shè)OE交⊙O于點F，若DF=2，BC=4

3

，求由劣弧BC、線段CE和BE所圍成的圖形面積S．

Answer 1

考點：切線的判定,扇形面積的計算

專題：證明題

分析：（1）連接OC，如圖，根據(jù)垂徑定理由OD⊥BC得到CD=BD，則OE為BC的垂直平分線，所以EB=EC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠EBC=∠ECB，加上∠2=∠1，則∠OBE=∠OCE；再根據(jù)切線的性質(zhì)得∠OCE=90°，所以∠OBE=90°，然后根據(jù)切線的判定定理得BE與⊙O相切；
（2）設(shè)⊙O的半徑為R，則OD=R-DF=R-2，OB=R，在Rt△OBD，利用勾股定理得（R-2）²+（2

3

）²=R²，解得R=4，即OD=2，OB=4，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到∠OBD=30°，則∠BOD=60°，在Rt△OBE中，計算BE=

3

OB=4

3

，然后根據(jù)扇形面積公式和S_陰影=S_{四邊形OBEC}-S_扇形OBC進行計算．

解答：（1）證明：連接OC，如圖，
∵OD⊥BC，
∴CD=BD，
∴OE為BC的垂直平分線，
∴EB=EC，
∴∠EBC=∠ECB，
∵OB=OC，
∴∠2=∠1，
∴∠2+∠EBC=∠1+∠ECB，即∠OBE=∠OCE，
∵CE為⊙O的切線，
∴OC⊥CE，
∴∠OCE=90°，
∴∠OBE=90°，
∴OB⊥BE，
∴BE與⊙O相切；
（2）解：設(shè)⊙O的半徑為R，則OD=R-DF=R-2，OB=R，
在Rt△OBD中，BD=

1

2

BC=2

3

，
∵OD²+BD²=OB²，
∴（R-2）²+（2

3

）²=R²，解得R=4，
∴OD=2，OB=4，
∴∠OBD=30°，
∴∠BOD=60°，
在Rt△OBE中，BE=

3

OB=4

3

，
∴S_陰影=S_{四邊形OBEC}-S_扇形OBC
=2×

1

2

×4×4

3

-

120•π•42

360

=16

3

-

16π

3

．

點評：本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了垂徑定理和扇形面積的計算．