Question

11．如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=∠C=90°，點(diǎn)E在DC上，且AE，BE分別平分
∠BAD和∠ABC，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB于F．
（1）求證：△ADE≌△AFE；
（2）求證：DE=EC；
（3）當(dāng)AD=2，BC=3時(shí)，求AB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）求出∠AFE=∠D=90°，∠DAE=∠EAF，根據(jù)AAS推出即可；
（2）根據(jù)AAS推出△BFE≌△BCE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出CE=EF，DE=EF，即可得出答案；
（3）延長(zhǎng)AE，交BC延長(zhǎng)線于M，根據(jù)平行線性質(zhì)求出∠D=∠ECM，根據(jù)ASA推出△ADE≌△MCE，求出AD=CM=2，求出AB=BM即可．

解答 （1）證明：∵EF⊥AB，∠D=90°，
∴∠AFE=∠D=90°，
又∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠EAF，
在△ADE與△AFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠AFE}\\{∠DAE=∠FAE}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△AFE（AAS）；

（2）證明：∵BE 平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∵EF⊥AB，∠C=90°，
∴∠BFE=∠C=90°，
在△BFE與△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BFE=∠BCE}\\{∠FBE=∠CBE}\\{BE=BE}\end{array}\right.$，
∴△BFE≌△BCE（AAS），
∴EF=EC
又∵△ADE≌△AFE，
∴EF=DE，
∴DE=EC；
（3）解：延長(zhǎng)AE，交BC延長(zhǎng)線于M，

∵AD∥BC，
∴∠D=∠ECM，
在△ADE和△MCE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠ECM}\\{DE=CE}\\{∠AED=∠CEM}\end{array}\right.$
∴△ADE≌△MCE（ASA），
∴AD=CM=2，
∴BM=BC+CM=3+2=5，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠EAB，
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠M，
∴∠EAB=∠M，
∴AB=BM=5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定的應(yīng)用，能根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出DE=EC是解此題的關(guān)鍵，題目比較好，難度適中