Question

15．如圖，在△ABC中，∠C=90°，點O為AB上一點，以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓與BC相切于點D．求證：AD平分∠CAB．

Answer 1

分析 利用切線BC的性質(zhì)求得∠ODB=90°，再根據(jù)已知條件∠ACB=90°，來證明OD∥AC；然后由兩直線平行內(nèi)錯角相等知∠1=∠3；最后由等腰三角形AOD的兩個底角∠1=∠2及等量代換證明AD平分∠BAC．

解答 證明：如圖，
∵⊙O與BC相切于點D，
∴OD⊥BC，
∴∠ODB=90°．
∵∠ACB=90°，
∴∠ODB=∠ACB．
∴OD∥AC，
∴∠1=∠3．
∵OD=OA，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
即AD平分∠BAC．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理及扇形的面積公式．運用切線的性質(zhì)來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．