Question

4．如圖，在⊙O中，點(diǎn)C為AB的中點(diǎn)，∠ACB=120°，AD是⊙O的切線，OC延長線與AD交于點(diǎn)D．
（1）求證：∠B=∠D；
（2）若點(diǎn)C到弦AB的距離為2，求弦AB的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)垂徑定理、等邊三角形的性質(zhì)和切線的性質(zhì)可以得到∠B與∠D的關(guān)系，從而可以解答本題；
（2）根據(jù)銳角三角三角函數(shù)可以解答本題．

解答 （1）證明，連接OA，如右圖所示，
∵在⊙O中，點(diǎn)C為AB的中點(diǎn)，∠ACB=120°，AD是⊙O的切線，
∴∠OAD=90°，∠ACB=∠BCD=60°，AC=BC，OC⊥AB，
∴∠B=30°，
∵OA=OC，∠OCA=60°，
∴∠OAC=∠OCA=60°，
∴∠AOC=60°，
∴∠D=30°，
∴∠B=∠D；
（2）∵點(diǎn)C到弦AB的距離為2，∠CAB=30°，∠ACO=60°，
∴AB=2×（2×tan60°）=2×（2×$\sqrt{3}$）=4$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查垂徑定理、切線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．