Question

19．我們知道：平行線間的距離處處相等，即：如圖（1）已知AD∥BC，MN⊥AD，PQ⊥AD，所以PQ=MN．
已知：圖①～④中的四邊形ABCD都是平行四邊形（其中AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD，）設(shè)它的面積為S．
（1）如圖①，點(diǎn)M為AD邊上任意一點(diǎn)，則△BCM的面積S₁=$\frac{1}{2}$S，△BCD的面積S₂與△BCM的面積S₁的數(shù)量關(guān)系是S₁=S₂；
（2）如圖②，設(shè)AC、BD交于點(diǎn)O，則O為AC、BD的中點(diǎn)，則△AOD的面積S₃與四邊形ABCD的面積S的數(shù)量關(guān)系是S₃=$\frac{1}{4}$S．
（3）如圖③，點(diǎn)P為平行四邊形ABCD內(nèi)任意一點(diǎn)時(shí)，記△PAD的面積為S₄，△PBC的面積為S₅，猜想得S₄、S₅的和與四邊形ABCD的面積為S的數(shù)量關(guān)系式為S₄+S₅=$\frac{1}{2}$S．
（4）如圖④，已知點(diǎn)P為平行四邊形ABCD內(nèi)任意一點(diǎn)，△PA2的面積為2，△PDC的面積為4，求△PBD的面積．

Answer 1

分析 （1）設(shè)?ABCD中BC邊上的高為h₁，CD邊上的高為h₂，根據(jù)平行四邊形的面積公式，三角形的面積公式分別計(jì)算即可解決問題；
（2）結(jié)論：S₃=$\frac{1}{4}$S，如圖②中，在平行四邊形ABCD中，O為AC、BD的中點(diǎn)，可得S_△AOD=S_△AOB=S_△BOC=S_△ODC，由此即可解決問題；
（3）如圖③中設(shè)?ABCD中BC邊上的高為h₂，△PBC中BC邊上高為h₃，△PAD中AD邊上的高為h₄，再根據(jù)平行四邊形的面積與三角形的面積公式求解即可；
（4）根據(jù)S_△PBD=S_{四邊形PBCD}-S_△BCD=S_△PBC+S_△PCD-S_△BCD，計(jì)算即可；

解答 解：（1）如圖①中，設(shè)?ABCD中BC邊上的高為h₁，CD邊上的高為h₂，
∵S_?ABCD=BC•h₁=CD•h₂=S，
S_△BCM=$\frac{1}{2}$BC•h₁=$\frac{1}{2}$S，S_△BCD=$\frac{1}{2}$CD•h₂=$\frac{1}{2}$S，
∴S₁=$\frac{1}{2}$S，S₁=S₂（或相等）．
故答案為：$\frac{1}{2}$；S₁=S₂；

（2）S₃=$\frac{1}{4}$S
理由：如圖②中，∵O為AC、BD的中點(diǎn)，
∴S_△AOD=S_△AOB=S_△BOC=S_△ODC
∴S₃=$\frac{1}{4}$S；
故答案為S₃=$\frac{1}{4}$S；


（3）如圖③中設(shè)?ABCD中BC邊上的高為h₂，△PBC中BC邊上高為h₃，△PAD中AD邊上的高為h₄，
∵AD∥BC，
∴h₃+h₄=h₂，
∴S_△PAD+S_△PCB=$\frac{1}{2}$BC•h₃+$\frac{1}{2}$AD•h₄=$\frac{1}{2}$BC（h₃+h₄）=$\frac{1}{2}$BC•h₂=$\frac{1}{2}$S，即S₄+S₅=$\frac{1}{2}$S；
故答案為：S₄+S₅=$\frac{1}{2}$S；

（4）∵S_△PBC+S_△PAD=$\frac{1}{2}$S=S_△BCD，S_△PAD=2，S_△PCD=4，
∴S_△PBD=S_{四邊形PBCD}-S_△BCD=S_△PBC+S_△PCD-S_△BCD，即S_△PBD=4+（ $\frac{1}{2}$S-2）-$\frac{1}{2}$S=4-2=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是平行四邊形的性質(zhì)，熟知平行四邊形及三角形的面積公式是解答此題的關(guān)鍵，學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問題，屬于中考?jí)狠S題．