Question

17．角平分線的軸對稱性可以為解題提供思路和方法：

（1）如圖（1）△ABC中，AB＞AC，求證：∠C＞∠B．
證明：作∠BAC的平分線，交BC邊于點D，在AB邊上截取AE=AC，連接ED，請完成證明．
（2）如圖（2），在△ABC中，AD是∠A的外角平分線，P是AD上一動點且不與點A，D重合，設(shè)PB+PC=a，AB+AC=b，猜想a和b的大小關(guān)系a＞b，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得∠C=∠AED，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，可得答案；
（2）根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得EP=CP，根據(jù)三角形的兩邊之和大于第三邊，可得答案．

解答 （1）證明：∵BD平分∠BAC，
∴∠DAC=∠DAE．
在△ADC和△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AE}\\{∠CAD=∠EAD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△ADE  （SAS），
∴∠C=∠AED．
∵∠AED是△BED的外角，
∴∠AED＞∠B，
∴∠C＞∠B；
（2）a＞b，理由如下：
如圖：
，
在BA的延長線上截取AE=AC，連接PE，
在△EAP和△CAP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AC}\\{∠EAP=∠CAP}\\{AP=AP}\end{array}\right.$，
∴△EAP≌△CAP（SAS），
∴EP=CP．
在△EPB中，EP+BP＞EA+AB，
即a＞b．
故答案為：a＞b．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，三角形三邊的性質(zhì)．