Question

6．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，sinB=$\frac{3}{5}$，點(diǎn)E在邊AC上，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB交AB于點(diǎn)F，EH∥AB交BC于點(diǎn)H，邊點(diǎn)H作HG⊥AB于點(diǎn)G，設(shè)EF=x．
（1）當(dāng)x為何值時(shí)，△AEF與△CEH全等，并說(shuō)明理由；
（2）點(diǎn)P為EH上一點(diǎn)，且∠FPG=90°，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由△AFE∽△ACB，推出$\frac{AE}{AB}$=$\frac{EF}{BC}$=$\frac{AF}{AC}$，推出$\frac{AE}{10}$=$\frac{x}{8}$=$\frac{AF}{6}$，推出AE=$\frac{5}{4}$x，AF=$\frac{3}{4}$x，EC=6-$\frac{5}{4}$x，由△AEF與△CEH全等，∠A=∠CEH，推出EC=AF，可得6-$\frac{5}{4}$x=$\frac{3}{4}$x，解方程即可．
（2）以FG為直徑作⊙O，作OM⊥EH于M．當(dāng)OM≤OF時(shí)，EH上存在點(diǎn)P，使得∠FPG=90°，列出不等式即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）在Rt△ABC中，∵BC=10，sinB=$\frac{3}{5}$，
∴AC=6，BC=8，
∵∠A=∠A．∠AFE=∠C=90°，
∴△AFE∽△ACB，
∴$\frac{AE}{AB}$=$\frac{EF}{BC}$=$\frac{AF}{AC}$，
∴$\frac{AE}{10}$=$\frac{x}{8}$=$\frac{AF}{6}$，
∴AE=$\frac{5}{4}$x，AF=$\frac{3}{4}$x，EC=6-$\frac{5}{4}$x，
∵△AEF與△CEH全等，∠A=∠CEH，
∴EC=AF，
∴6-$\frac{5}{4}$x=$\frac{3}{4}$x，
∴x=3．

（2）以FG為直徑作⊙O，作OM⊥EH于M．
當(dāng)OM≤OF時(shí)，EH上存在點(diǎn)P，使得∠FPG=90°，
∵△CEH∽△CAB，
∴$\frac{CE}{CA}$=$\frac{EH}{AB}$，
∴EH=$\frac{5}{3}$（6-$\frac{5}{4}$x），
∴x≤$\frac{1}{2}$（$\frac{5}{3}$（6-$\frac{5}{4}$x），
∴x≤$\frac{120}{49}$，∵x＞0，
∴0＜x≤$\frac{120}{49}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、解直角三角形、圓的有關(guān)知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用方程的思想思考問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用輔助圓解決直角問(wèn)題，屬于中考常考題型．