Question

任意△ABC中，∠B=2∠C，∠A、∠B、∠C對(duì)應(yīng)邊為a、b、c．求證：b²=c（a+c）．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：如圖，作輔助線，證明△ADB∽△DCA，進(jìn)而證明

AD

DC

=

AB

AC

，化為等積式問題即可解決．

解答：證明：如圖，延長(zhǎng)CB到點(diǎn)D，使BD=BA；
則∠D=∠DAB=α；∠B=∠D+∠DAB=2α；
∵∠B=2∠C，
∴2∠C=2α，∠D=∠C=α，AD=AC=b；
∵∠D=∠DAB=∠C，
∴△ADB∽△DCA，
∴

AD

DC

=

AB

AC

，而AD=b，AB=c，DC=a+c，AC=b，
∴b²=c（a+c）．

點(diǎn)評(píng)：該題主要考查了相似三角形的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造相似三角形；靈活運(yùn)用有關(guān)定理來分析、判斷、推理或解答是解題的關(guān)鍵．