Question

16．A、B、C、D為矩形的四個(gè)頂點(diǎn)，AB=16cm，AD=6cm，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以3cm/s的速度向點(diǎn)B移動(dòng)，一直到達(dá)B為止，點(diǎn)Q以2cm/s的速度向D移動(dòng)．
（1）P、Q兩點(diǎn)從出發(fā)開始到幾秒時(shí)四邊形PBCQ是矩形？
（2）P、Q兩點(diǎn)從出發(fā)開始到幾秒時(shí)，點(diǎn)P和點(diǎn)Q的距離是10cm？

Answer 1

分析 （1）當(dāng)PB=CQ時(shí)，四邊形PBCQ為矩形，依此建立方程求出即可；
（2）作PH⊥CD，垂足為H，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，用t表示線段長(zhǎng)，用勾股定理列方程求解．

解答 解：（1）如圖，∵A、B、C、D為矩形的四個(gè)頂點(diǎn)，
∴∠B=90°，AB∥CD，

∴當(dāng)PB=CQ時(shí)，四邊形PBCQ為矩形，
設(shè)P、Q兩點(diǎn)從出發(fā)開始到t秒時(shí)四邊形PBCQ是矩形，
則16-3t=2t，
解得：t=$\frac{16}{5}$．
答：當(dāng)P、Q兩點(diǎn)從出發(fā)開始到$\frac{16}{5}$秒時(shí)四邊形PBCQ是矩形秒時(shí)四邊形APQD為矩形；

（2）設(shè)P，Q兩點(diǎn)從出發(fā)開始到t秒時(shí)，點(diǎn)P，Q間的距離是10cm，
作PH⊥CD，垂足為H，則PH=AD=6，PQ=10，
∵DH=PA=3t，CQ=2t，
∴HQ=CD-DH-CQ=|16-5t|，
由勾股定理，得（16-5t）²+6²=10²，
解得t₁=4.8，t₂=1.6．
答：P，Q兩點(diǎn)從出發(fā)開始到1.6或4.8秒時(shí)，點(diǎn)P，Q間的距離是10cm．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，矩形的性質(zhì)及判定，勾股定理等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，利用數(shù)形結(jié)合、分類討論及方程思想是解題的關(guān)鍵．