Question

6．如圖，在等腰三角形DEF中，DE=FE=1，∠DEF=135°．
（1）求∠EFD的正切值（結(jié)果用根號表示）；
（2）應用：通過折疊矩形紙片ABCD，在BC邊上確定兩點G、H，使得△AGH∽△DEF，還原矩形紙片后，用虛線標注折痕，并說明你的折法和理由．

Answer 1

分析 （1）利用等腰直角三角形的性質(zhì)進而利用銳角三角函數(shù)關系得出∠EFD的正切值；
（2）利用等腰三角形DEF的特殊性，得出與其形狀相同的三角形即可．

解答 解：（1）延長FE，過點D作DR⊥FE的延長線于點R，
∵等腰三角形DEF中，DE=FE=1，∠DEF=135°，
∴∠DER=45°，
∴DR=ER=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴tan∠DFE=$\frac{DR}{RF}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}+1}$=$\sqrt{2}$-1；

（2）如圖所示：以AB為直角邊折疊等腰直角三角形，再折疊∠DAG的平分線，即可得出H，G的位置；
∵AB=BG，∠B=90°，
∴∠BAG=∠AGB=45°，
∴∠AGH=135°，
∵∠DAH=∠GAH=22.5°，
∴∠AHG=22.5°，
∴GH=AG，
∴$\frac{DE}{AG}$=$\frac{EF}{GH}$，
又∵∠DEF=∠AGH，
∴△AGH∽△DEF．

點評 此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關系，得出△AGH各內(nèi)角度數(shù)是解題關鍵．