Question

5．如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，BC的延長(zhǎng)線與AD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，若AB=BE．
（1）求證：DC=DE；
（2）連接OE，交CD于點(diǎn)F，OE⊥CD，求cos∠OEB．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)AB=BE得出∠A=∠AEB，再由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出∠A=∠DCE，故可得出∠DCE=∠AEB，據(jù)此可得出結(jié)論；
（2）先根據(jù)CD=DE，△CDE是等腰三角形，再由垂徑定理可知EO是CD的垂直平分線，故可得出△DCE是等邊三角形，據(jù)此可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：∵AB=BE，
∴∠A=∠AEB．
∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠A=∠DCE，
∴∠DCE=∠AEB，
∴DC=DE；

（2）解：∵CD=DE，
∴△CDE是等腰三角形．
∵EO⊥CD，
∴EO是CD的垂直平分線，
∴ED=EC，
∴DC=DE=EC，
∴△DCE是等邊三角形，
∴∠OEB=30°，
∴cos∠OEB=cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟知圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)是解答此題的關(guān)鍵．