Question

13．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，圓心O在AB上，且∠B=2∠A，M是OA上一點，過M作AB的垂線交AC于點N，交BC的延長線于點E，直線CF交EN于點F，EF=FC．
（1）求證：CF是⊙O的切線．
（2）設(shè)⊙O的半徑為2，且AC=CE，求AM的長．

Answer 1

分析 （1）連接OC，如圖，根據(jù)圓周角定理得到∠ACB=90°，則利用∠B=2∠A可計算出∠B=60°，∠A=30°，易得∠E=30°，接著由EF=FC得到∠ECF=∠E=30°，所以∠FCA=60°，加上∠OCA=∠A=30°，所以∠FCO=∠FCA+∠ACO=90°，于是可根據(jù)切線的判定得到FC是⊙O的切線；
（2）利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．在Rt△ABC中可計算出BC=$\frac{1}{2}$AB=2，AC=$\sqrt{3}$BC=2$\sqrt{3}$，則CE=2$\sqrt{3}$，所以BE=BC+CE=2+2$\sqrt{3}$，然后在Rt△BEM中計算出BM=$\frac{1}{2}$BE=1+$\sqrt{3}$，
再計算AB-BM的值即可．

解答 （1）證明：連接OC，如圖，
∵⊙O是△ABC的外接圓，圓心O在AB上，
∴AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
又∵∠B=2∠A，
∴∠B=60°，∠A=30°，
∵EM⊥AB，
∴∠EMB=90°，
在Rt△EMB中，∠B=60°，
∴∠E=30°，
又∵EF=FC，
∴∠ECF=∠E=30°，
又∵∠ECA=90°，
∴∠FCA=60°，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠A=30°，
∴∠FCO=∠FCA+∠ACO=90°，
∴OC⊥CF，
∴FC是⊙O的切線；
（2）解：在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB=2，AC=$\sqrt{3}$BC=2$\sqrt{3}$，
∵AC=CE，
∴CE=2$\sqrt{3}$，
∴BE=BC+CE=2+2$\sqrt{3}$，
在Rt△BEM中，∠BME=90°，∠E=30°
∴BM=$\frac{1}{2}$BE=1+$\sqrt{3}$，
∴AM=AB-BM=4-1-$\sqrt{3}$=3-$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．也考查了含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．