Question

14．閱讀下列材料：關(guān)于x的方程x²-3x+1=0（x≠0）
方程兩邊同時(shí)乘以$\frac{1}{x}$得：x-3+$\frac{1}{x}$=0即x+$\frac{1}{x}$=3
（x+$\frac{1}{x}$）²=x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$+2•x•$\frac{1}{x}$=x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$+2
x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$=（x+$\frac{1}{x}$）²-2=3²-2=7
根據(jù)以上材料，解答下列問題：
（1）x²-4x+1=0（x≠0），則x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$=14，x⁴+$\frac{1}{{x}^{4}}$=194
（2）2x²-7x+2=0（x≠0），求x³+$\frac{1}{{x}^{3}}$的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)例題方程兩邊同時(shí)除以x，即可求得x+$\frac{1}{x}$的值，然后平方即可求得x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$的值，然后再平方求得x4+$\frac{1}{{x}^{4}}$的值；
（2）首先方程兩邊除以2x即可求得x+$\frac{1}{x}$的值，然后平方即可求得x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$的值，然后利用立方差公式求解．

解答 解：（1）方程兩邊同時(shí)乘以$\frac{1}{x}$得：x-4+$\frac{1}{x}$=0，則x+$\frac{1}{x}$=4，
兩邊平方得x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$+2=16，則x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$=14，
兩邊平方得x⁴+$\frac{1}{{x}^{4}}$+2=196，則x⁴+$\frac{1}{{x}^{4}}$=194．
故答案是：14，194；
（2）方程兩邊同時(shí)除以2x得x-$\frac{7}{2}$+$\frac{1}{x}$=0，
則x+$\frac{1}{x}$=$\frac{7}{2}$，
兩邊平方得x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$+2=$\frac{49}{4}$，則x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{41}{4}$，
x³+$\frac{1}{{x}^{3}}$=（x+$\frac{1}{x}$）（x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$-1）=$\frac{7}{2}$×（$\frac{41}{4}$-1）=$\frac{7}{2}$×$\frac{37}{4}$=$\frac{259}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平方差公式以及立方差公式，正確理解平方差公式的變形是關(guān)鍵．