Question

4．新定義：若兩個二次函數(shù)圖象的頂點、開口方向都相同，則稱這兩個二次函數(shù)為“同簇二次函數(shù)”．
（1）請判斷二次函數(shù)y=2（x+3）²-1與二次函數(shù)y=$\frac{1}{3}{x^2}$+3x+2是否為“同簇二次函數(shù)”，并說明理由；
（2）已知關(guān)于x的二次函數(shù)y₁=2x²-4mx+2m²+1和y₂=ax²+bx+5，其中y₁的圖象經(jīng)過點A（1，1），若y₁+y₂與y₁為“同簇二次函數(shù)”，求函數(shù)y₂的表達式．

Answer 1

分析 （1）求得頂點坐標，進行判定即可；
（2）先把A點坐標代入y₁可計算出m=1，則y₁=2x²-4x+3，y₂=ax²+bx+5，再求出y₁的頂點坐標，利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可．

解答 解：（1）二次函數(shù)y=2（x+3）²-1的開口向上，頂點坐標為（-3，-1），
二次函數(shù)y=$\frac{1}{3}{x^2}$+3x+2=$\frac{1}{3}$（x+$\frac{9}{2}$）-$\frac{19}{4}$的開口向上，頂點坐標為（-$\frac{9}{2}$，-$\frac{19}{4}$），
所以不是同簇二次函數(shù)；
（2）∵y₁的圖象經(jīng)過點A（1，1），
∴2×1²-4×m×1+2m²+1=1．
整理得：m²-2m+1=0．
解得：m₁=m₂=1．
∴y₁=2x²-4x+3
=2（x-1）²+1．
∴y₁+y₂=2x²-4x+3+ax²+bx+5
=（a+2）x²+（b-4）x+8
∵y₁+y₂與y₁為“同簇二次函數(shù)”，
∴y₁+y₂=（a+2）（x-1）²+1
=（a+2）x²-2（a+2）x+（a+2）+1．
其中a+2＞0，即a＞-2．
∴$\left\{\begin{array}{l}{b-4=-2（a+2）}\\{8=（a+2）+1}\end{array}\right.$．
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=5}\\{b=-10}\end{array}\right.$．
∴函數(shù)y₂的表達式為：y₂=5x²-10x+5．
∴y₂=5x²-10x+5
=5（x-1）²．

點評 此題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握對稱軸與頂點坐標的求法是解決問題的關(guān)鍵．