Question

1．如圖，△ABC中AD是∠BAC的平分線，E、F分別是AB、BC上的點，且∠EDF+∠BAC=180°，求證：DE=DF．

Answer 1

分析 在AB上截取AG=AF，先證明△AGD≌△AFD，得出∠AGD=∠AFD，DG=DF；再根據(jù)角的關(guān)系求出∠4=∠3，證出DE=DG，即可得出結(jié)論DE=DF．

解答 證明：在AB上截取AG=AF，連接DG，如圖所示：
∵AD是∠BAC的平分線，
∴∠1=∠2，
在△ADG與△ADF中，$\left\{\begin{array}{l}{AG=AF}&{\;}\\{∠1=∠2}&{\;}\\{AD=AD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AGD≌△AFD（SAS）
∴∠AGD=∠AFD，DG=DF
又∵∠AED+∠EDF+∠DFA+∠FAE=360°，∠EAF+∠EDF=180°，
∴∠AED+∠AFD=180°，
又∠4+∠AGD=180°，
∴∠4=∠3，
∴DE=DG，
∴DE=DF．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、角的平分線的定義、等腰三角形的判定與性質(zhì)；證明三角形全等和等腰三角形是解決問題的關(guān)鍵．