Question

11．定義：如果一個(gè)數(shù)的平方等于-1，記為i²=-1，這個(gè)數(shù)i叫做虛數(shù)單位，那么和我們所學(xué)的實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)起來就叫做復(fù)數(shù)，表示為a+bi（a，b為實(shí)數(shù)），a叫這個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部，b叫做這個(gè)復(fù)數(shù)的虛部，它的加，減，乘法運(yùn)算與整式的加，減，乘法運(yùn)算類似．
例如計(jì)算：（2+i）×（3-4i）=5-3i．
（1）填空：i³=-i，i⁴=1；
（2）計(jì)算①（3+i）（3-i）；②（5-2i）²；
（3）若兩個(gè)復(fù)數(shù)相等，則它們的實(shí)部和虛部必須完全相等，完成下列問題：已知：（x+y）-3i=（1-x）+yi，（x，y為實(shí)數(shù)），求x，y的值；
（4）試一試：請(qǐng)將$\frac{2-i}{2+i}$化簡(jiǎn)成a+bi的形式．

Answer 1

分析 （1）把i²=-1代入求出即可；
（2）①先根據(jù)平方差公式進(jìn)行計(jì)算，再把i²=-1代入求出即可；
②先根據(jù)完全平方公式進(jìn)行計(jì)算，再把i²=-1代入求出即可；
（3）根據(jù)兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的定義得出方程組，求出方程組的解即可；
（4）根據(jù)分子和分母都乘以2-i，再進(jìn)行計(jì)算即可．

解答 解：（1）i³=i²•i=-i，i⁴=（i²）²=（-1）²=1，
故答案為：-i，1；

（2）①（3+i）（3-i）
=9-i²
=9-（-1）
=10；
②（5-2i）²
=25-20i+4i²
=25-20i+4×（-1）
=21-20i；

（3）（x+y）-3i=（1-x）+yi，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+y=1-x}\\{y=-3}\end{array}\right.$
解得：x=2，y=-3；

（4）$\frac{2-i}{2+i}$
=$\frac{（2-i）^{2}}{（2+i）（2-i）}$
=$\frac{4-4i+{i}^{2}}{4-{i}^{2}}$
=$\frac{4-4i+（-1）}{4-（-1）}$
=$\frac{5-4i}{5}$
=1-0.8i．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)數(shù)，整式的混合運(yùn)算的應(yīng)用，能讀懂題意是解此題的關(guān)鍵，主要考查了學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，難度適中．