Question

10．△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=45°，將△ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到△AEF，連接BE，CF，它們交于D點(diǎn)，
①求證：BE=CF．
②當(dāng)α=120°，求∠FCB的度數(shù)．
③當(dāng)四邊形ACDE是菱形時(shí)，求BD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 ①先利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，則根據(jù)“SAS”證明△AEB≌△AFC，于是得到BE=CF；
②利用∠FAC=120°，AF=AC可得到∠ACF=30°，再利用AB=AC，∠BAC=45°得到∠ACB=67.5°，然后計(jì)算∠BCF；
③利用四邊形ACDE是菱形得到AC∥DE，DE=AE=AC=1，則∠ABE=∠BAC=45°，于是可判斷△ABE為等腰直角三角形，所以BE=$\sqrt{2}$AB=$\sqrt{2}$，然后計(jì)算BE-DE即可．

解答 ①證明：∵△ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)角α得到△AEF，
∴AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，
∴AB=AC=AE=AF，
∠EAF+∠FAB=∠BAC+∠FAB，即∠EAB=∠FAC，
在△AEB和△AFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AF}\\{∠EAB=∠FAC}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△AFC，
∴BE=CF；

②解：∵α=120°，
∴∠FAC=120°，
而AF=AC，
∴∠ACF=30°，
∵AB=AC，∠BAC=45°，
∴∠ACB=67.5°，
∴∠BCF=67.5°-30°=37.5°；

③解：∵四邊形ACDE是菱形，
∴AC∥DE，DE=AE=AC=1，
∴∠ABE=∠BAC=45°，
而AE=AB，
∴△ABE為等腰直角三角形，
∴BE=$\sqrt{2}$AB=$\sqrt{2}$，
∴BD=BE-DE=$\sqrt{2}$-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了菱形的性質(zhì)．