Question

19． 如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD．
（1）畫圖：將正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后得到正方形AB₁C₁D₁，邊B₁C₁與CD交于點(diǎn)O；
（2）求四邊形AB₁OD的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，B點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B₁在AC上，C點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C₁在AD的延長(zhǎng)線上，然后畫出D點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D₁即可得到正方形AB₁C₁D₁；
（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)得AB=1，AC=$\sqrt{2}$，∠CAB=45°，∠DCA=45°，∠B=90°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠B₁AB=45°，AB₁=AB=1，∠AB₁C₁=∠B=90°，于是可判斷點(diǎn)B₁在AC上，△OB₁C為等腰直角三角形，所以CB₁=AC-AB₁=$\sqrt{2}$-1，然后利用四邊形AB₁OD的面積=S_△ADC-S_△OB1C進(jìn)行計(jì)算即可．

解答 解：（1）如圖，正方形AB₁C₁D₁為所作；

（2）∵四邊形ABCD為邊長(zhǎng)為1的正方形，
∴AB=1，AC=$\sqrt{2}$，∠CAB=45°，∠DCA=45°，∠B=90°，
∵正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后得到正方形AB₁C₁D₁，
∴∠B₁AB=45°，AB₁=AB=1，∠AB₁C₁=∠B=90°，
∴點(diǎn)B₁在AC上，△OB₁C為等腰直角三角形，
∴CB₁=AC-AB₁=$\sqrt{2}$-1，
∴S_△OB1C=$\frac{1}{2}$•（$\sqrt{2}$-1）²=$\frac{3-2\sqrt{2}}{2}$，
∴四邊形AB₁OD的面積=S_△ADC-S_△OB1C=$\frac{1}{2}$•1•1-$\frac{3-2\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了作圖-旋轉(zhuǎn)變換：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對(duì)應(yīng)角都相等都等于旋轉(zhuǎn)角，對(duì)應(yīng)線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對(duì)應(yīng)點(diǎn)，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形．也考查了正方形的性質(zhì)．