Question

11．如圖，已知直線AB經(jīng)過⊙O上的點(diǎn)C，并且OA=OB，CA=CB．
（1）求證：直線AB是⊙O的切線；
（2）OA，OB分別交⊙O于點(diǎn)D，E，AO的延長線交⊙O于點(diǎn)F，若AB=4AD，求sin∠CFE的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出OC⊥AB，根據(jù)切線的判定得出即可；
（2）連接OC、DC，證△ADC∽△ACF，求出AF=4x，CF=2DC，根據(jù)勾股定理求出DC=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$x，起床DF=3x，解直角三角形求出sin∠AFC，即可求出答案．

解答 （1）證明：連接OC，如圖1，
∵OA=OB，AC=BC，
∴OC⊥AB，
∵OC過O，
∴直線AB是⊙O的切線；
（2）解：連接OC、DC，如圖2，
∵AB=4AD，
∴設(shè)AD=x，則AB=4x，AC=BC=2x，
∵DF為直徑，
∴∠DCF=90°，
∵OC⊥AB，
∴∠ACO=∠DCF=90°，
∴∠OCF=∠ACD=90°-∠DCO，
∵OF=OC，
∴∠AFC=∠OCF，
∴∠ACD=∠AFC，
∵∠A=∠A，
∴△ADC∽△ACF，
∴$\frac{AC}{AF}$=$\frac{AD}{AC}$=$\frac{DC}{CF}$=$\frac{x}{2x}$=$\frac{1}{2}$，
∴AF=2AC=4x，F(xiàn)C=2DC，
∵AD=x，
∴DF=4x-x=3x，
在Rt△DCF中，（3x）²=DC²+（2DC）²，
解得：DC=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$x，
∵OA=OB，AC=BC，
∴∠AOC=∠BOC，
∴$\widehat{DC}$=$\widehat{EC}$，
∴∠CFE=∠AFC，
∴sin∠CFE=sin∠AFC=$\frac{DC}{DF}$=$\frac{\frac{3\sqrt{5}}{5}x}{3x}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，切線的判定，解直角三角形，圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能綜合運(yùn)用知識點(diǎn)進(jìn)行推理和計算是解此題的關(guān)鍵，難度偏大．