Question

15．如圖，AC是平行四邊形ABCD的對角線，將平行四邊形ABCD折疊，使得點A與點C重合，再將其打開展平，得折痕EF，EF與AC交于點O，G為CF的中點，連接OG、CE．則下列結(jié)論中：①DF=BE②∠ACD=∠ACE．③OG=$\frac{1}{2}$AE④S_△CBE=$\frac{1}{6}$S_{四邊形ABCD}，其中正確的有（　�。�

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 由四邊形ABCD是平行四邊形，得到AB=CD，AB∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠FCO=∠EAO，由折疊的性質(zhì)得得到AO=CO，∠AOE=∠COF=90°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AE=CF，求得DF=BE，故①正確；∠ACF=∠ACE，故②正確；根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到OG=$\frac{1}{2}$AE，故③正確；只有當(dāng)E是AB的3等分點時，S_△BCE=$\frac{1}{3}$S_△ABC=$\frac{1}{6}$S_{四邊形ABCD}，而BE不一定等于$\frac{1}{3}$AB，于是得到S_△CBE不一定$\frac{1}{6}$S_{四邊形ABCD}，故④錯誤，

解答 解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠FCO=∠EAO，
由折疊的性質(zhì)得，AO=CO，
∠AOE=∠COF=90°，
在△AOE與△COF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EOA=∠FOC}\\{∠EAO=∠FCO}\\{AO=CO}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF，
∴AE=CF，
∴DF=BE，故①正確；
∵△AOE≌△COF，
∴OF=OE，
∴CF=CE，
∴∠ACF=∠ACE，故②正確；
∵∠FOC=90°，G為CF的中點，
∴OG=$\frac{1}{2}$CF，
∴OG=$\frac{1}{2}$AE，故③正確；
∵只有當(dāng)E是AB的3等分點時，S_△BCE=$\frac{1}{3}$S_△ABC=$\frac{1}{6}$S_{四邊形ABCD}，
而BE不一定等于$\frac{1}{3}$AB，
∴S_△CBE不一定$\frac{1}{6}$S_{四邊形ABCD}，故④錯誤，
故選C．

點評 本題考查了翻折變換-折疊問題，平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．