Question

1．如圖，△ABC是邊長為a的等邊三角形，DF⊥AB，EF⊥AC．
（1）求證：△BDF∽△CEF；
（2）若a=4，試探究當BF取何值時，四邊形ADFE的面積最大；
（3）已知tan∠EDF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，試證明四邊形ADFE是圓內接四邊形并求出此圓的直徑．

Answer 1

分析 （1）只需找到兩組對應角相等即可；
（2）四邊形ADFE面積S可以看成△ADF與△AEF的面積之和，借助三角函數(shù)用m表示出AD、DF、AE、EF的長，進而可以用含m的代數(shù)式表示S，然后通過配方，轉化為二次函數(shù)的最值問題，就可以解決問題；
（3）易知AF就是圓的直徑，利用圓周角定理將∠EDF轉化為∠EAF．在△AFC中，知道tan∠EAF、∠C、AC，通過解直角三角形就可求出AF長．

解答 解：（1）∵DF⊥AB，EF⊥AC，
∴∠BDF=∠CEF=90°．
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠B=∠C=60°．
∵∠BDF=∠CEF，∠B=∠C，
∴△BDF∽△CEF；

（2）設BF=m，則DF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$m，BD=$\frac{1}{2}$m，
∵AB=4，∴AD=4-$\frac{1}{2}$m，
∴S_△ADF=$\frac{1}{2}$AD•DF=$\frac{1}{2}$（4-$\frac{1}{2}$m）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$m=-$\frac{\sqrt{3}}{8}$m²+$\sqrt{3}$m，
同理：S_△AEF=-$\frac{\sqrt{3}}{8}$m²+2$\sqrt{3}$，
∴S_△DFE=S_△ADF+S_△AEF=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$m²+$\sqrt{3}$m+2$\sqrt{3}$=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$（m-2）²+3$\sqrt{3}$，其中0＜m＜4．
∵-$\frac{\sqrt{3}}{4}$＜0，0＜2＜4，
∴當m=2時，S_△DEF取最大值，最大值為3$\sqrt{3}$，

（3）設O是AF的中點，∵∠ADF=∠AEF=90°，∴OD=OE=$\frac{1}{2}$AF，
∴A、D、F、E到點O的距離相等，
即四邊形ADFE是圓內接四邊形，AF是此圓的直徑，
∴∠EDF=∠EAF．
∵tan∠EDF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴tan∠EAF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．∴$\frac{EF}{EA}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵∠C=60°，∴$\frac{EF}{EC}$=tan60°=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{EC}{EA}$=$\frac{1}{2}$，∴EC=$\frac{1}{3}$a，EA=$\frac{2}{3}$a，EF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，
∴AF=$\sqrt{A{E}^{2}+E{F}^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{3}$a，
∴此圓直徑長為$\frac{\sqrt{7}}{3}$a．

點評 本題考查了相似三角形的判定、二次函數(shù)的最值、三角函數(shù)、解直角三角形、圓周角定理、等邊三角形的性質等知識，綜合性強．利用圓周角定理將條件中的圓周角轉化到合適的位置是解決最后一小題的關鍵．