Question

4．如圖，在□ABCD中，E、F是對角線AC上的兩點，AE=CF．
（1）求證：四邊形BEDF是平行四邊形；
（2）聯結BD交EF于點O，當BE⊥EF時，BE=8，BF=10，求BD的長．

Answer 1

分析 （1）連接BD交AC于O．只要證明OE=OF，OB=OD即可．
（2）在Rt△BEF中，EF=$\sqrt{B{F}^{2}-B{E}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，推出OE=OF=3，在Rt△BEO中，OB=$\sqrt{B{E}^{2}+O{E}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{73}$，由此即可解決問題．

解答 （1）證明：連接BD交AC于O．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵AE=CF，
∴OE=OF，∵OB=OD，
∴四邊形BEDF是平行四邊形；

（2）解：∵BE⊥AC，
∴∠BEF=90°，
在Rt△BEF中，EF=$\sqrt{B{F}^{2}-B{E}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，
∴OE=OF=3，
在Rt△BEO中，OB=$\sqrt{B{E}^{2}+O{E}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{73}$，
∴BD=2OB=2$\sqrt{73}$．

點評 本題考查平行四邊形的判定和性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握平行四邊形的判定和性質，靈活運用勾股定理解決問題嗎，屬于中考�？碱}型．