Question

如圖，△ABC為任意三角形，以AB、AC為邊分別向外做等邊△ABD和等邊△ACE，連接CD、BE并相交于點(diǎn)P．求證：
（1）CD=BE；
（2）∠BPC=120°．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專題：作圖題

分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出AD=AB，AE=AC，∠ACE=∠AEC=60°，∠DAB=∠EAC=60°，求出∠DAC=∠BAE，根據(jù)SAS推出△DAC≌△BAE即可；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠BEA=∠ACD，求出∠BPC=∠ECP+∠PEC=∠ACE+∠AEC，代入求出即可．

解答：證明：（1）∵以AB、AC為邊分別向外做等邊△ABD和等邊△ACE，
∴AD=AB，AE=AC，∠ACE=∠AEC=60°，∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，
∴∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，

AD=AB ∠DAC=∠BAE AC=AE

，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴CD=BE；

（2）∵△DAC≌△BAE，
∴∠BEA=∠ACD，
∴∠BPC=∠ECP+∠PEC
=∠DCA+∠ACE+∠PEC
=∠BEA+∠ACE+∠PEC
=∠ACE+∠AEC
=60°+60°
=120°．

點(diǎn)評：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出△DAC≌△BAE，題目是一道比較好的題目，難度適中．