Question

10．已知，△ABC是等腰直角三角形，BC=AB，A點(diǎn)在x負(fù)半軸上，直角頂點(diǎn)B在y軸上，點(diǎn)C在x軸上方．

（1）如圖1所示，若A的坐標(biāo)是（-3，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，1），求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥y軸于D，請(qǐng)直接寫出線段OA，OD，CD之間等量關(guān)系；
（3）如圖3，若x軸恰好平分∠BAC，BC與x軸交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥x軸 于F，問(wèn)CF與AE有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）作CH⊥y軸于D，如圖1，易得OA=3，OB=1根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得BA=BC，∠ABC=90°，再利用等角的余角相等得到∠CBH=∠BAO，則可根據(jù)“AAS”證明△ABO≌△BCH，得到OB=CH=1，OA=BH=3，所以C（-1，4）；
（2）與（1）一樣的方法可證明△ABO≌△BCD，得到OB=CD，OA=BD，易得OA=CD+OD；
（3）如圖3，CF和AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)D，先證明△ABE≌△CBD得到AE=CD，再利用對(duì)稱性質(zhì)得CF=DF，所以CF=$\frac{1}{2}$AE．

解答 解：（1）作CH⊥y軸于D，如圖1，
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-3，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，1），
∴OA=3，OB=1，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴BA=BC，∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠CBH=90°，
∵∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠CBH=∠BAO，
在△ABO和△BCH中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOB=∠BHC}\\{∠BAO=∠CBH}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△BCH，
∴OB=CH=1，OA=BH=3，
∴OH=OB+BH=1+3=4，
∴C（-1，4）；
（2）OA=CD+OD．理由如下：如圖2，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴BA=BC，∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠CBD=90°，
∵∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠CBD=∠BAO，
在△ABO和△BCD中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOB=∠BDC}\\{∠BAO=∠CBD}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△BCD，
∴OB=CD，OA=BD，
而BD=OB+OD=CD+OD，
∴OA=CD+OD；
（3）CF=$\frac{1}{2}$AE．理由如下：
如圖3，CF和AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)D，
∴∠CBD=90°，
∵CF⊥x，
∴∠BCD+∠D=90°，
而∠DAF+∠D=90°，
∴∠BCD=∠DAF，
在△ABE和△CBD中
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠CBD}\\{∠BAE=∠BCD}\\{AB=CB}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△CBD，
∴AE=CD，
∵x軸平分∠BAC，CF⊥x軸，
∴CF=DF，
∴CF=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$AE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．也考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)．本題的關(guān)鍵是利用等腰直角三角形的性質(zhì)添加輔助線構(gòu)建全等三角形．