Question

3．如圖，在△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，動點P從A點出發(fā)，沿AC向點C移動，速度為每秒2個單位長度，同時，動點Q從C點出發(fā)，沿CB向點B移動，速度為每秒1個單位長度，當(dāng)其中有一點到達終點時，它們都停止移動．設(shè)移動的時間為t秒．

（1）當(dāng)t=2.5秒時，求△CPQ的面積；
（2）求△CPQ的面積S（平方米）關(guān)于時間t（秒）的函數(shù)解析式；
（2）在P、Q移動的過程中，當(dāng)t為何值時，△CPQ是等腰三角形？

Answer 1

分析 （1）首先利用勾股定理求得AC的長，然后過點P作PD⊥BC于D，利用三角形中位線定理即可求得PD的長；
（2）過點Q，作QE⊥PC于點E，易知Rt△QEC∽Rt△ABC，從而可求得QE的長，然后利用三角形的面積公式即可求解；
（2）PC=QC PQ=QC PC=PQ三種情況進行討論求解即可．

解答 解：（1）如圖1，過點P，作PD⊥BC于D．

在Rt△ABC中，AB=6米，BC=8米，
由勾股定理得：AC$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}=\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10米
由題意得：AP=2t，則CQ=t，則PC=10-2t
∵t=2.5秒時，AP=2×2.5=5米，QC=2.5米
∴PD=$\frac{1}{2}$AB=3米．
∴S=$\frac{1}{2}$QC•PD=3.75平方米；
（2）如圖1過點Q，作QE⊥PC于點E，
∵∠C=∠C，∠QEC=∠ABC，
∴Rt△QEC∽Rt△ABC．
∴$\frac{QE}{QC}=\frac{AB}{AC}$．
解得：QE=$\frac{3t}{5}$，
∴S=$\frac{1}{2}$PC•QE=$\frac{1}{2}$（10-2t）•$\frac{3t}{5}$=-$\frac{3}{5}$t²+3t（0＜t＜5）
（3）①當(dāng)PC=QC時，PC=10-2t，QC=t，即10-2t=t，解得t=$\frac{10}{3}$秒；
②當(dāng)PQ=CQ時，如圖1，過點Q作QE⊥AC，則CE=$\frac{10-2t}{2}$=5-t，CQ=t，
由（2）可知△CEQ∽△CBA，故 $\frac{CE}{BC}=\frac{QC}{AC}$，即 $\frac{5-t}{8}=\frac{t}{10}$，解得t=$\frac{25}{9}$秒；
③當(dāng)PC=PQ時，如圖2，過點P作PE⊥BC．

∵PQ=PC，PE⊥QC，
∴EC=$\frac{1}{2}QC$．
∴CE=$\frac{t}{2}$．
∵PE⊥QC，
∴∠PEC=90°．
∴∠PEC=∠ABC．
∵∠C=∠C，∠PEC=∠ABC，
∴△PCE∽△ACB．
∴$\frac{CE}{BC}=\frac{PC}{AC}$，即$\frac{t}{16}$=$\frac{10-2t}{10}$，解得t=$\frac{80}{21}$秒．

點評 本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，以及圓和圓的位置關(guān)系，正確把圖形之間的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為線段之間的相等關(guān)系是解題的關(guān)鍵．