Question

5．如圖1，拋物線y=-$\frac{1}{3}$x²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x+3與x軸交于A、B兩點（點A在點B的右側），交y軸于點C，點D的坐標為（0，-1），直線AD交拋物線于另一點E，點P是第二象限拋物線上的一點，作PQ∥y軸交直線AE于Q，作PG⊥AD于G，交x軸于點H
（1）求線段DE的長；
（2）設d=PQ-$\frac{\sqrt{3}}{4}$PH，當d的值最大時，在直線AD上找一點K，使PK+$\frac{1}{2}$EK的值最小，求出點K的坐標和PK+$\frac{1}{2}$EK的最小值；
（3）如圖2，當d的值最大時，在x軸上取一點N，連接PN，QN，將△PNQ沿著PN翻折，點Q的對應點為Q′，在x軸上是否存在點N，使△AQQ′是等腰三角形？若存在，求出點N的坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）先求出點A坐標，求出直線AD的解析式，利用方程組求出點E坐標，利用兩點間距離公式即可解決問題．
（2）構建二次函數(shù)，求出d最大時點P坐標，作EM⊥PQ交PQ的延長線于M，作KN⊥EM于N．只要證明PM就是PK+$\frac{1}{2}$EK的最小值即可解決問題．
（3）分四種情形①如圖2中，當Q′Q=AQ′時，∠Q′PQ=∠Q′PA=30°，∠NPE=∠NPQ′=15°，連接PA，在PF上取一點E，使得PE=EN．設FN=x，則PE=EN=2x，EF=$\sqrt{3}$x，列出方程求解即可．②如圖3中，當N與A重合時△AQQ′是等腰三角形．此時N（$\sqrt{3}$，0）．③如圖4中，當N與B重合時，△AQQ′是等腰三角形，此時N（-3$\sqrt{3}$，0）．④如圖5中，當Q′Q=Q′A，易知∠PNF=∠PQQ′=∠PQ′Q=15°，在FN上取一點E，使得PE=BE．在Rt△PEF中解直角三角形即可解決問題．

解答 解：（1）對于拋物線y=-$\frac{1}{3}$x²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x+3，
令y=0，得-$\frac{1}{3}$x²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x+3=0，解得x=-3$\sqrt{3}$或$\sqrt{3}$，
∴A（$\sqrt{3}$，0），B（-3$\sqrt{3}$，0），
∵D（0，-1），
設直線AD的解析式為y=kx+b，則有$\left\{\begin{array}{l}{b=-1}\\{\sqrt{3}k+b=0}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∴直線AD的解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-1．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{3}}{3}x-1}\\{y=-\frac{1}{3}{x}^{2}-\frac{2\sqrt{3}}{3}x+3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-4\sqrt{3}}\\{y=-5}\end{array}\right.$，
∴點E坐標為（-4$\sqrt{3}$，-5），
∴DE=$\sqrt{（4\sqrt{3}）^{2}+{4}^{2}}$=8．

（2）如圖1中，設P（m，-$\frac{1}{3}$m²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$m+3）則Q（m，$\frac{\sqrt{3}}{3}$m-1）．

∵tan∠OAD=$\frac{DO}{OA}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠OAD=30°，
∵PG⊥AE，
∴∠AGH=90°，
∴∠AHG=∠PHF=60°，
∴PH=$\frac{PF}{cos60°}$，
∴d=PQ-$\frac{\sqrt{3}}{4}$PH=-$\frac{1}{3}$m²-$\sqrt{3}$m+4-$\frac{\sqrt{3}}{4}$×$\frac{2}{\sqrt{3}}$（-$\frac{1}{3}$m²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$m+3）=-$\frac{1}{6}$（m+2$\sqrt{3}$）²+$\frac{9}{2}$，
∵-$\frac{1}{6}$＜0，
∴m=-2$\sqrt{3}$時，d的值最大，P（-2$\sqrt{3}$，3），
作EM⊥PQ交PQ的延長線于M，作KN⊥EM于N．
∵∠AEM=∠OAD=30°，
∴KN=$\frac{1}{2}$EK，QM=$\frac{1}{2}$EQ，
∴PK+$\frac{1}{2}$EK=PK+KN≤PM，
∴當K與Q重合時，PK+$\frac{1}{2}$EK的值最小，
此時K（-2$\sqrt{3}$，-3），最小值為8．

（3）①如圖2中，連接PA，在PF上取一點E，使得PE=EN．

∵PF=3，AF=3$\sqrt{3}$，
∴tan∠AFP=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠PAF=30°，∠PAQ=60°，
∵PF=FQ，AF⊥PQ，
∴AP=AQ，
∴△PAQ是等邊三角形，
當Q′Q=AQ′時，∠Q′PQ=∠Q′PA=30°，∠NPE=∠NPQ′=15°，
∴∠NEF=30°，設FN=x，則PE=EN=2x，EF=$\sqrt{3}$x，
∵PF=3，
∴2x+$\sqrt{3}$x=3，
∴x=6-3$\sqrt{3}$，
∴OF=2$\sqrt{3}$-6+3$\sqrt{3}$=5$\sqrt{3}$-6，
∴N（6-5$\sqrt{3}$，0）．

②如圖3中，當N與A重合時△AQQ′是等腰三角形．此時N（$\sqrt{3}$，0）．


③如圖4中，當N與B重合時，△AQQ′是等腰三角形，此時N（-3$\sqrt{3}$，0）．


④如圖5中，當Q′Q=Q′A，易知∠PNF=∠PQQ′=∠PQ′Q=15°，在FN上取一點E，使得PE=BE．

在Rt△PEF中，∵PF=3，∠PEF=30°，
∴PE=NE=2PF=6，EF=$\sqrt{3}$PF=3$\sqrt{3}$，
∴ON=6+5$\sqrt{3}$，
∴N（-6-5$\sqrt{3}$，0）．
綜上所述，滿足條件的點N坐標為（6-5$\sqrt{3}$，0）或（$\sqrt{3}$，0）或（-3$\sqrt{3}$，0）或（-6-5$\sqrt{3}$，0）．

點評 本題考查二次函數(shù)綜合題、一次函數(shù)、等邊三角形的判定和性質、最小值問題等知識，解題的關鍵是學會構建二次函數(shù)解決最值問題，學會利用垂線段最短解決最短問題，學會分類討論，注意不能漏解，題目比較難，屬于中考壓軸題．