Question

17．觀察下列各式：①$\sqrt{2+\frac{2}{3}}$=2$\sqrt{\frac{2}{3}}$； ②$\sqrt{3+\frac{3}{8}}$=3$\sqrt{\frac{3}{8}}$；③$\sqrt{4+\frac{4}{15}}$=4$\sqrt{\frac{4}{15}}$；…
①當n≥2時，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？用含有n的式子表示為$\sqrt{n+\frac{n}{{n}^{2}-1}}=n\sqrt{\frac{n}{{n}^{2}-1}}$．
②請用所學數(shù)學知識證明你的結論．

Answer 1

分析 利用二次根式的性質化簡求出即可，進而得出規(guī)律求出答案．

解答 解：$\sqrt{2+\frac{2}{3}}$=2$\sqrt{\frac{2}{3}}$； ②$\sqrt{3+\frac{3}{8}}$=3$\sqrt{\frac{3}{8}}$；③$\sqrt{4+\frac{4}{15}}$=4$\sqrt{\frac{4}{15}}$；…
①當n≥2時，用含有n的式子表示為$\sqrt{n+\frac{n}{{n}^{2}-1}}=n\sqrt{\frac{n}{{n}^{2}-1}}$．
②$\sqrt{n+\frac{n}{{n}^{2}-1}}$
=$\sqrt{\frac{n（{n}^{2}-1）}{{n}^{2}-1}+\frac{n}{{n}^{2}-1}}$
=$\sqrt{\frac{n（{n}^{2}-1+1）}{{n}^{2}-1}}$
=$\sqrt{\frac{{n}^{2}•n}{{n}^{2}-1}}$
=n$\sqrt{\frac{n}{{n}^{2}-1}}$．
故答案為：$\sqrt{n+\frac{n}{{n}^{2}-1}}=n\sqrt{\frac{n}{{n}^{2}-1}}$．

點評 此題主要考查了二次根式的性質與化簡，正確掌握二次根式的性質是解題關鍵．