Question

9．已知，如圖，△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AE平分∠BAC交BC于E，過E作ED⊥AB于D，連接DC交AE于F，其中BD=1，下列結論：①DC⊥AE；②AB=2+$\sqrt{2}$；③CD•AE=2$\sqrt{2}$+2；④$\frac{AE}{CD}$=2：1，其中正確的結論是①②③．

Answer 1

分析 根據(jù)已知條件得到∠B=45°根據(jù)等腰直角三角形的性質得到BD=DE=1，BE=$\sqrt{2}$，根據(jù)角平分線的性質得到DE=CE=1，求得BC=1+$\sqrt{2}$，根據(jù)等腰直角三角形的性質得到AB=$\sqrt{2}$BC=2+$\sqrt{2}$，故②正確；根據(jù)全等三角形的性質得到AD=AC，于是得到AE⊥DC；故①正確；根據(jù)勾股定理得到AE=$\sqrt{A{C}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{2\sqrt{2}+4}$，求得CF=$\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2\sqrt{2}+4}}$，得到$\frac{AE}{CD}$=$\sqrt{2}$，即可得到結論．

解答 解：∵AC=BC，∠C=90°，
∴∠B=45°，
∵ED⊥AB，
∴BD=DE=1，
∴BE=$\sqrt{2}$，
∵AE平分∠BAC交BC于E，∠C=90°，ED⊥AB，
∴DE=CE=1，
∴BC=1+$\sqrt{2}$，
∴AB=$\sqrt{2}$BC=2+$\sqrt{2}$，故②正確；
在Rt△ADE與Rt△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=AE}\\{DE=CE}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADE≌Rt△ACE，
∴AD=AC，
∴AE⊥DC；故①正確；
∵CE=1，AC=BC=1+$\sqrt{2}$，
∴AE=$\sqrt{A{C}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{2\sqrt{2}+4}$，
∴CF=$\frac{AC•CE}{AE}$=$\frac{（1+\sqrt{2}）×1}{\sqrt{2\sqrt{2}+4}}$=$\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2\sqrt{2}+4}}$，
∴CD=2CF=$\frac{2\sqrt{2}+2}{\sqrt{2\sqrt{2}+4}}$，
∴$\frac{AE}{CD}$=$\sqrt{2}$，故④錯誤；
AE•CD=（$\sqrt{2\sqrt{2}+4}$）×$\frac{2\sqrt{2}+2}{\sqrt{2\sqrt{2}+4}}$=2$\sqrt{2}$+2，故③正確，
∴正確的結論是①②③．
故答案為：①②③．

點評 本題考查了全等三角形的判斷和性質，角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質，等腰直角三角形的判定與性質，熟記性質并判斷出等腰直角三角形是解題的關鍵．