Question

14．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（0，6），點(diǎn)B（6，0），動(dòng)點(diǎn)C在以半徑為2$\sqrt{2}$的⊙O上，連接OC，AC．
（1）求直線AB的表達(dá)式；
（2）當(dāng)點(diǎn)C在⊙O上運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，AC與⊙O相切？請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）直線AB經(jīng)過(guò)怎樣的平移后與⊙O相切？請(qǐng)寫出計(jì)算過(guò)程加以說(shuō)明．

Answer 1

分析 （1）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，利用待定系數(shù)法即可解決問(wèn)題；
（2）如圖1中，設(shè)直線AC與⊙O相切于點(diǎn)C，連接OC，作CH⊥OA于H．利用面積法求出點(diǎn)C坐標(biāo)，再根據(jù)對(duì)稱性確定另一個(gè)點(diǎn)C′的坐標(biāo)即可；
（3）如圖2中，作OM⊥AB于M交⊙O于G、N．求出MN、GM的長(zhǎng)即可解決問(wèn)題；

解答 解：（1）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，則有$\left\{\begin{array}{l}{6k+b=0}\\{b=6}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為y=-x+6．

（2）如圖1中，設(shè)直線AC與⊙O相切于點(diǎn)C，連接OC，作CH⊥OA于H．

∵AC是切線，
∴∠ACO=90°，
∵OC=2$\sqrt{2}$，OA=6，
∴AC=$\sqrt{O{A}^{2}-O{C}^{2}}$=$\sqrt{36-8}$=2$\sqrt{7}$，
∵S_△ACO=$\frac{1}{2}$•AC•CO=$\frac{1}{2}$•OA•CH，
∴CH=$\frac{2\sqrt{14}}{3}$，
∴OH=$\sqrt{O{C}^{2}-C{H}^{2}}$=$\frac{4}{3}$，
∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（-$\frac{2\sqrt{14}}{3}$，$\frac{4}{3}$），
根據(jù)對(duì)稱性可知當(dāng)點(diǎn)C′坐標(biāo)為（$\frac{2\sqrt{14}}{3}$，$\frac{4}{3}$）時(shí)，直線AC′也是⊙O的切線．
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)C坐標(biāo)為（-$\frac{2\sqrt{14}}{3}$，$\frac{4}{3}$）或（$\frac{2\sqrt{14}}{3}$，$\frac{4}{3}$）．

（3）如圖2中，作OM⊥AB于M交⊙O于G、N．

易知：OM=$\frac{1}{2}$AB=3$\sqrt{2}$，
∴MN=3$\sqrt{2}$-2$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$，GM=3$\sqrt{2}$+2$\sqrt{2}$=5$\sqrt{2}$，
∴直線AB沿第一象限和第三象限的角平分線方向，向下平移$\sqrt{2}$或5$\sqrt{2}$個(gè)單位后與⊙O相切．

點(diǎn)評(píng) 本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用、圓、切線的判定和性質(zhì)、勾股定理、三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用面積法確定點(diǎn)的坐標(biāo)，屬于中考?jí)狠S題．