Question

3．如圖，已知△ABC中，∠B=∠C，AB=16厘米，BC=12厘米，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)．如果點(diǎn)P在線段BC上以每秒4厘米的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CA上以每秒a厘米的速度由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）（0≤t≤3）．
（1）用的代數(shù)式表示PC的長(zhǎng)度；
（2）若點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過(guò)1秒后，△BPD與△CQP是否全等，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）若點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度a為多少時(shí)，能夠使△BPD與△CQP全等？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意、結(jié)合圖形解答；
（2）分別求出BP、CQ的長(zhǎng)，根據(jù)全等三角形的判定定理解答；
（3）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出△BPD與△CQP全等時(shí)CQ的長(zhǎng)，根據(jù)速度公式計(jì)算即可．

解答 解：（1）PC=BC-PB=12-4t；
（2）經(jīng)過(guò)1秒后，△BPD與△CQP全等．
∵AB=16，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，
∴BD=8，
經(jīng)過(guò)1秒后，BP=CQ=4，
∵BC=12，BP=4，
∴CP=8，
∴CP=BD，
在△BPD和△CQP中，
$\left\{\begin{array}{l}{CP=BD}\\{∠C=∠B}\\{CQ=BP}\end{array}\right.$，
∴△BPD≌△CQP；
（3）點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)速度不相等時(shí)，△BPD與△CQP全等，則CP=BP，
即t=$\frac{6}{4}$=$\frac{3}{2}$秒，
∵AB=16，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，
∴BD=8，
則CQ=8，
∴點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度a=8÷$\frac{3}{2}$=$\frac{16}{3}$，
∴當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度a為$\frac{16}{3}$厘米/秒時(shí)，△BPD與△CQP全等．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理、靈活運(yùn)用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵．