Question

12．如圖，AB是⊙O的直徑，BD，CD分別是過⊙O上點B，C的切線，且∠BDC=120°，連接AC．
（1）求∠A的度數；
（2）若點D到BC的距離為2，那么⊙O的半徑是多少？

Answer 1

分析 （1）首先連接OC，由BD，CD分別是過⊙O上點B，C的切線，可求得∠BOC的度數，然后由圓周角定理，求得答案；
（2）首先求得∠DCB與∠DBC的度數，然后過點D作DE⊥BC，垂足為E，則DE=2，即可求得BE的長，繼而求得BC的長，然后由（1）可知△OBC為等邊三角形，即可求得答案．

解答 解：（1）連接OC，
∵BD，CD分別是過⊙O上點B，C的切線，
∴OC⊥CD，OB⊥BD，
∴∠OCD=∠OBD=90°，
∵∠BDC=120°，
∴∠BOC=360°-∠OCD-∠BDC-∠OBD=60°，
∴∠A=$\frac{1}{2}$∠BOC=30°；

（2）∵BD，CD分別是過⊙O上點B，C的切線，
∴DC=DB，
∴∠DCB=∠DBC=$\frac{1}{2}$（180°-120°）=30°，
過點D作DE⊥BC，垂足為E，則DE=2，
∵∠DBC=30°，
∴BD=2DE=4，
在直角△DEB中，$BE=\sqrt{{4^2}-{2^2}}=2\sqrt{3}$，
∴BC=2BE=$4\sqrt{3}$，
由（1）可知△OBC為等邊三角形，
∴OB=BC=$4\sqrt{3}$，
∴⊙O的半徑是$4\sqrt{3}$．

點評 此題考查了切線的性質、圓周角定理以及勾股定理等知識．注意準確作出輔助線是解此題的關鍵．