Question

15．平面直角坐標(biāo)系中．點(diǎn)A（0，1），點(diǎn)B是x軸負(fù)半軸上一點(diǎn)（不包括原點(diǎn)），△ABC是等邊三角形且點(diǎn)C在直線AB的下方．小李同學(xué)發(fā)現(xiàn)，隨著點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)C在某一條確定的直線上運(yùn)動(dòng)，則該直線的解析式為y=$\sqrt{3}$x-1．

Answer 1

分析 如圖，過點(diǎn)C′作C′E⊥y軸，C′F⊥x軸于點(diǎn)F，依題意得C′F=$\frac{1}{2}$，利用勾股定理求出OF，然后可得點(diǎn)C的坐標(biāo)；根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)易求點(diǎn)C移動(dòng)到y(tǒng)軸上的坐標(biāo)是（0，-1），所以根據(jù)這兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)易求點(diǎn)C移動(dòng)所得圖象的解析式．

解答 解：如圖，過點(diǎn)C′作C′F⊥x軸于點(diǎn)F，
∵△AOC′是等邊三角形，OA=1，
∴C′F=$\frac{1}{2}$．
在Rt△OC′F中，EC′=$\sqrt{{1}^{2}-（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴點(diǎn)C′的坐標(biāo)為（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$）．
∵△AOC′與△ABC都是等邊三角形，
∴AO=AC′，AB=AC，∠BAC=∠OAC′=60°，
∴∠BAC-∠OAC=∠OAC′-∠OAC，
∴∠BAO=∠CAC′，
在△AOB與△AC′C中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=AC′}\\{∠BOA=∠CAC′}\\{AB=AC}\end{array}\right.$
∴△AOB≌△AC′C（SAS）．
∴∠BOA=∠CC′A=90°，
∴點(diǎn)C在過點(diǎn)C′且與AC′垂直的直線上，
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0，1），△ABC是等邊三角形，
∴點(diǎn)C移動(dòng)到y(tǒng)軸上的坐標(biāo)是（0，-1），
設(shè)點(diǎn)C所在的直線方程為：y=kx+b（k≠0）．
把點(diǎn)（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$）和（0，-1）分別代入，得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{3}}{2}k+b=\frac{1}{2}}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{k=\sqrt{3}}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
所以點(diǎn)C移動(dòng)所得圖象的解析式是為：y=$\sqrt{3}$x-1．
故答案為y=$\sqrt{3}$x-1．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)．求得點(diǎn)C位于y軸負(fù)半軸上的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．