Question

7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），B為直線y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x上的一個(gè)動點(diǎn)，延長AB至C，使得AB=BC，過點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，交直線OB于點(diǎn)F，過點(diǎn)A作AE∥OB，交直線CD于點(diǎn)E．
（1）求直線AE的解析式；
（2）在點(diǎn)B的運(yùn)動過程中，線段CF的長是否發(fā)生改變？若不變，請求出線段CF的長；若改變，請說明理由；
（3）若AD=EF，點(diǎn)D在點(diǎn)A的右側(cè)，直接寫出tan∠CAD的值；
（4）連接BE，在點(diǎn)B的運(yùn)動過程中，是否存在點(diǎn)E，使△ABE為直角三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)兩直線平行k相同，利用待定系數(shù)法即可解決問題；
（2）在點(diǎn)B運(yùn)動過程中，線段CF的長不發(fā)生變化．過點(diǎn)A作AG⊥OA，交OB于G．只要證明△ABG≌△CBF，即可推出CF=AG=$\sqrt{3}$；
（3）求出AD、CD，根據(jù)tan∠CAD=$\frac{CD}{AD}$計(jì)算即可；
（4）存在．由AB=BC，BF∥AE可知BF是△AEC的中位線，推出AE=2BF，EF=CF=$\sqrt{3}$，分三種情形討論即可：①若BE⊥AE，如圖1中，則BE⊥BF．②若AB⊥BE，如圖2中．③若AB⊥AE，如圖3中．分別求解即可；

解答 解：（1）∵AE∥OB，直線OB的解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
∴可以假設(shè)直線AE的解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+b，
把A（3，0）代入得到b=-$\sqrt{3}$，
∴直線AE的解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$．

（2）在點(diǎn)B運(yùn)動過程中，線段CF的長不發(fā)生變化．
過點(diǎn)A作AG⊥OA，交OB于G．

∵點(diǎn)A（3，0），
∴點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為3，
將x=3代入y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，得到y(tǒng)=$\sqrt{3}$，
∴AG=$\sqrt{3}$，
∵AG∥CD，B為AC中點(diǎn)，
∴∠AGB=∠CFB，∠BAG=∠BCF，AB=BC，
∴△ABG≌△CBF，
∴CF=AG=$\sqrt{3}$．

（3）由（2）可知tan∠GOA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠EAD=∠GOA=30°，
∵EF=AG=AD=CF=$\sqrt{3}$，
∴ED=AD•tan30°=1，
∴CD=1+2$\sqrt{3}$
∴tan∠CAD=$\frac{CD}{AD}$=$\frac{1+2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$=$\frac{6+\sqrt{3}}{3}$．

（4）存在．
由AB=BC，BF∥AE可知BF是△AEC的中位線，
∴AE=2BF，EF=CF=$\sqrt{3}$，
①若BE⊥AE，如圖1中，則BE⊥BF，CF=EF=$\sqrt{3}$

∵∠BFE=60°，
∴BF=EF•cos60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴AE=$\sqrt{3}$，
在Rt△ADE中，ED=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，AD=$\frac{3}{2}$，此時(shí)E（$\frac{9}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
②若AB⊥BE，如圖2中，CF=EF=$\sqrt{3}$

易知BF=$\frac{1}{2}$CE=$\sqrt{3}$，
∴AE=2$\sqrt{3}$，
在Rt△ADE中，DE=$\sqrt{3}$，AD=3，此時(shí)E（6，$\sqrt{3}$）．
③若AB⊥AE，如圖3中，CF=$\sqrt{3}$，∠C=30°，

易知BF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴AE=$\sqrt{3}$，
在Rt△ADE中，ED=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，AD=$\frac{3}{2}$，此時(shí)E（$\frac{3}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)E坐標(biāo)為（$\frac{9}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）或（6，$\sqrt{3}$）或（$\frac{3}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．

點(diǎn)評 本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用、全等三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、解直角三角形、直角三角形30度角性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．