Question

12．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=mx²-2mx+m+4與y軸交于點A（0，3），與x軸交于點B，C（點B在點C左側(cè)）．
（1）求該拋物線的表達(dá)式及點B，C的坐標(biāo)；
（2）拋物線的對稱軸與x軸交于點D，若直線y=kx+b經(jīng)過點D和點E（-1，-2），求直線DE的表達(dá)式；
（3）在（2）的條件下，已知點P（t，0），過點P作垂直于x軸的直線交拋物線于點M，交直線DE于點N，若點M和點N中至少有一個點在x軸下方，直接寫出t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把A點坐標(biāo)代入可求得m的值，可求得拋物線的表達(dá)式，令y=0可求得B、C兩點的坐標(biāo)；
（2）由（1）可求得拋物線的對稱軸，可求得D點坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法可求得直線DE的表達(dá)式；
（3）由條件可知當(dāng)直線和拋物線的圖象不能都在x軸上方，結(jié)合直線和拋物線的圖象可求得t的范圍．

解答 解：（1）∵拋物線y=mx²-2mx+m+4與y軸交于點A（0，3），
∴m+4=3．
∴m=-1．
∴拋物線的表達(dá)式為y=-x²+2x+3．
∵拋物線y=-x²+2x+3與x軸交于點B，C，
∴令y=0，即-x²+2x+3=0．
解得 x₁=-1，x₂=3．
又∵點B在點C左側(cè)，
∴點B的坐標(biāo)為（-1，0），點C的坐標(biāo)為（3，0）；
（2）∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴拋物線的對稱軸為直線x=1．
∵拋物線的對稱軸與x軸交于點D，
∴點D的坐標(biāo)為（1，0）．
∵直線y=kx+b經(jīng)過點D（1，0）和點E（-1，-2），
∴$\left\{\begin{array}{l}k+b=0\\-k+b=-2.\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}k=1\\ b=-1.\end{array}\right.$
∴直線DE的表達(dá)式為y=x-1；
（3）如圖，當(dāng)P點在D、B兩點之間時，M、N都在x軸上方，

∴點M、N至少有一個點在x軸下方的t的范圍為：t＜1或t＞3．

點評 本題主要考查二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合，在（1）中注意待定系數(shù)法的應(yīng)用，在（2）中求得D點坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在（3）中注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．