Question

6．在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，點(diǎn)D、E分別在AB、BC邊上，且DE∥AC．
（1）問：$\frac{CE}{AD}$=$\frac{1}{2}$；
（2）若△BDE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋（如圖2），試求$\frac{C{E}_{1}}{A{D}_{1}}$的值；
（3）若△BDE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角度（0°＜α≤180°）在旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D₁，點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E₁，設(shè)直線D₁E₁與直線AB交于M，與直線AC交于N，是否存在這樣的α使得三角形AMN為等腰三角形？若存在．直接寫出α的度數(shù)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)含30°的直角三角形的三邊的關(guān)系，再直接代入求解即可，
（2）先由旋轉(zhuǎn)和含30°的直角三角形的三邊關(guān)系，得出$\frac{B{E}_{1}}{BC}=\frac{B{D}_{1}}{BD}$，從而判斷出△BCE₁∽△BAD₁，即可；
（3）按邊分AM=AN，MN=AM，MN=AN三種情況畫出圖形討論計(jì)算即可．

解答 解：（1）在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
∴AB=2BC，
∵DE∥AC，
∴∠BDE=∠A=30°，
∴BD=2BE；
∴$\frac{CE}{AD}=\frac{BC-BE}{AB-BD}$=$\frac{BC-BE}{2BC-2BE}$=$\frac{1}{2}$，
故答案為$\frac{1}{2}$；
（2）由旋轉(zhuǎn)有，BD₁=2BE₁，
由（1）知，AB=2BC，
∴$\frac{B{E}_{1}}{BC}=\frac{B{D}_{1}}{BD}$
由旋轉(zhuǎn)知，∠CBE₁=∠ABD₁，
∴△BCE₁∽△BAD₁，
∴$\frac{C{E}_{1}}{A{D}_{1}}=\frac{BC}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
（3）如圖1，

當(dāng)MN=MA時(shí)，∠N=∠A=30°，
∴∠AMN=180°-∠A-∠N=120°，
∵∠BD1E1=90°，
∴∠MBD₁=30°
∵∠ABC=60°
∴α=∠CBD₁=∠ABC-∠MBD₁=60°-30°=30°；
如圖2，

當(dāng)AM=AN時(shí)，∠ANM=∠AMN=$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=75°，
∵∠BD₁M=90°，
∴∠ABD₁=15°，
∵∠ABC=60°
∴α=∠CBD₁=∠ABC+∠ABD₁=75°，
如圖3，

當(dāng)NM=NA時(shí)，∠AMN=∠A=30°，
∵∠BD₁M=90°，
∴∠ABD₁=60°，
∵∠ABC=60°
∴α=∠ABC+∠ABD₁=120°，
∴三角形AMN為等腰三角形的α為30°，75°，120°．

點(diǎn)評(píng) 此題是幾何變換綜合題，主要考查了含30°的直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解本題的根據(jù)是表示出含30°的直角三角形的三邊的關(guān)系，作出圖形是解本題的難點(diǎn)．