Question

1．如圖，四邊形ABCD中，AB=CD，M，N分別為AD，BC的中點(diǎn)，EF⊥MN交AB于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F．求證：∠AEF=∠DFE．

Answer 1

分析 連接AC，取AC中點(diǎn)H，連接MH，NH，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到MH∥DC，MH=$\frac{1}{2}$DC，NH∥AB，NH=$\frac{1}{2}$AB，作HG⊥MN 根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 證明：連接AC，取AC中點(diǎn)H，連接MH，NH，
設(shè)AC與EF交于Q，HN與EF交于P，
∵M(jìn)，N為中點(diǎn)，
∴MH∥DC，MH=$\frac{1}{2}$DC，NH∥AB，NH=$\frac{1}{2}$AB，
∵AB=CD，
∴MH=NH，
作HG⊥MN，
∴∠MHG=∠NHG 且EF⊥MN，
∴GH∥EF，
∴∠MHA=∠FCA，∠AHG=∠AQE=∠CQF，∠GHP=∠HPF，
∴∠DFE=∠FCA+∠FQC=∠MHA+∠AHG=∠MHG，
∵NH∥AB，
∴∠AEF=∠HPF，
∴∠MHG=∠GHN=∠HPF=∠AEP=∠DFE，
∴∠AEF=∠DFE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形的中位線的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，掌握的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．