Question

18．如圖，已知△ABC，AC=BC=6，∠C=90°，O是AB的中點，⊙O與AC相切于點D，與BC相切于點E．⊙O交OB于F，連接DF并延長交CB的延長線于G．
（1）求證：∠BFG=∠G；
（2）求EG的長；
（3）求由DG，GE和$\widehat{ED}$所圍成圖形的面積（陰影面積）．

Answer 1

分析 （1）連接OD．根據(jù)切線的性質(zhì)得到OD⊥AC，則OD∥BC；可得∠ODF=∠G，再結(jié)合對頂角相等和等邊對等角得到∠BFG=∠BGF．
（2）首先連接OE，由切線的性質(zhì)，可得四邊形ODCE為正方形，則可求得BE與BG的長，繼而求得答案；
（3）由陰影部分的面積=直角三角形CDG的面積-（正方形的面積-扇形ODE的面積）．根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可求出有關(guān)邊AB、OD的長，以及圓心角∠DOE的度數(shù)．進而可根據(jù)扇形的面積和直角三角形的面積求得陰影部分的面積．

解答 解：（1）連接OD，
∵OD=OF，
∴∠ODF=∠OFD；
∵⊙O與AC相切于點D，
∴OD⊥AC；
又∵∠C=90°，即GC⊥AC，
∴OD∥GC，
∴∠G=∠ODF；
又∵∠BFG=∠OFD，
∴∠BFG=∠G．

（2）連接OE，
∵⊙O與AC相切于點D、與BC相切于點E，
∴DC=CE，OD⊥AC，OE⊥BC，
∵∠C=90°，
∴四邊形ODCE為正方形，
∵AO=BO=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∴OD=BE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×6=3，
∵∠BFG=∠BGF，
∴BG=BF=OB-OF=3$\sqrt{2}$-3；
∴EG=BE+BG=3$\sqrt{2}$；

（3）∵CG=CB+BG=3$\sqrt{2}$+3；
∴S_陰影=S_△DCG-（S_{正方形ODCE}-S_扇形ODE）
=$\frac{1}{2}$×3×（3+3$\sqrt{2}$）-（3²-$\frac{1}{4}$π×3²）
=$\frac{9}{4}$π-$\frac{9}{2}$+$\frac{9}{2}$$\sqrt{2}$．

點評 此題綜合考查了切線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)及扇形的面積計算方法．注意準確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．