Question

3．已知A（-1，1），B（-$\frac{1}{2}$，-2），C（-3，-$\frac{1}{3}$）三個(gè)點(diǎn)中的兩個(gè)點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上．
（1）求出這個(gè)反比例函數(shù)的解析式，并找出不在圖象上的點(diǎn)；
（2）設(shè)P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）是這個(gè)反比例函數(shù)圖象上任意不重合的兩點(diǎn)，M=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$，N=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{1}}$+$\frac{{y}_{1}}{{x}_{2}}$，試判斷M，N的大小，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）直接根據(jù)反比例函數(shù)中k=xy的特點(diǎn)進(jìn)行解答即可．
（2）根據(jù)點(diǎn)P的坐標(biāo)可求出反比例函數(shù)的解析式，從而得到y(tǒng)₁與x₁、y₂與x₂的關(guān)系，然后只需運(yùn)用作差法就可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）∵A（-1，1），B（-$\frac{1}{2}$，-2），C（-3，-$\frac{1}{3}$），
∴-1×1=-1，（-$\frac{1}{2}$）×（-2）=1，（-3）×（-$\frac{1}{3}$）=1，
∴點(diǎn)A不在這個(gè)反比例函數(shù)圖象上．
（2）M＞N．
理由如下∵P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）是函數(shù)y=$\frac{1}{x}$圖象上的任意不重合的兩點(diǎn)，
∴y₁=$\frac{1}{{x}_{1}}$，y₂=$\frac{1}{{x}_{2}}$，y₁≠y₂．
∵M(jìn)=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$，N=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{1}}$+$\frac{{y}_{1}}{{x}_{2}}$，
∴M-N=（$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$）-（$\frac{{y}_{2}}{{x}_{1}}$+$\frac{{y}_{1}}{{x}_{2}}$）
=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}}$+$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}}$=（y₁-y₂）（$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$）
=（y₁-y₂）²＞0，
∴M＞N．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，在解決問(wèn)題的過(guò)程中用到了數(shù)形結(jié)合和作差法等重要的數(shù)學(xué)思想方法，應(yīng)熟練掌握．