Question

8．如圖1在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知拋物線y=a（x+1）（x-3）與x軸相交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸正半軸交于點(diǎn)C，且∠ABC=45°．
（1）求a的值；
（2）如圖2，點(diǎn)D在線段BC上（不與C重合），當(dāng)AD=AC時(shí)，求D點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）如圖3，在（2）的條件下，E為拋物線上一點(diǎn)，且在第一象限，過(guò)E作EF∥AD與AC相交于點(diǎn)F，當(dāng)EF被BC平分時(shí)，求點(diǎn)E坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)拋物線解析式求出點(diǎn)AB坐標(biāo)，利用等腰直角三角形性質(zhì)求出C點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線即可求出a值；
（2）由B、C點(diǎn)坐標(biāo)可得出直線BC的解析式，設(shè)出D點(diǎn)坐標(biāo)（m，-m+3），由兩點(diǎn)間的距離公式可表示出AD的長(zhǎng)度，再由AC=AD找出關(guān)于m的一元二次方程，解方程求出m的值，代入到D點(diǎn)坐標(biāo)中即可得出結(jié)論．
（3）由A、D點(diǎn)坐標(biāo)可得出直線AD的解析式，由EF平行AD設(shè)出直線EF的解析式，代入到拋物線中可得到關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系表示出兩根之和，再由直線EF和BC的解析式可找出交點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)EF被BC平分，可知交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的2倍為前面一元二次方程的兩根之和，解方程即可得出直線EF的解析式，從而得出點(diǎn)E的坐標(biāo)．

解答 解（1）拋物線y=a（x+1）（x-3），
令y=0，則有a（x+1）（x-3）=0，
解得：x=-1，或x=3，
∴A（-1，0），B（3，0），
∵∠ABC=45°，∠BOC=90°，
∴OB=OC=3，
∴C（0，3），
將點(diǎn)C（0，3）代入二次函數(shù)解析式得：
3=a×（0+1）×（0-3），
解得：a=-1．
（2）∵點(diǎn)A（-1，0），點(diǎn)C（0，3），點(diǎn)B（3，0），
∴AC=$\sqrt{10}$，
又∵∠ABC=45°，
∴直線BC的解析式為y=-x+3，
設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，-m+3），
由兩點(diǎn)間的距離公式可知：AD=$\sqrt{[m-（-1）]^{2}+（-m+3）^{2}}$，
∵AD=AC=$\sqrt{10}$，
∴有$\sqrt{[m-（-1）]^{2}+（-m+3）^{2}}$=$\sqrt{10}$，
解得：m=0（舍去），m=2，
此時(shí)-m+3=-2+3=1．
故當(dāng)AD=AC時(shí)，D點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1）．
（3）設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b，
將A（-1，0），D（2，1）代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{0=-k+b}\\{1=2k+b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{3}}\\{b=\frac{1}{3}}\end{array}\right.$．
∴直線AD的解析式為y=$\frac{1}{3}$x+$\frac{1}{3}$．
∵EF∥AD，
∴設(shè)直線EF的解析式為y=$\frac{1}{3}$x+c．
令-x+3=$\frac{1}{3}$x+c，則有x=$\frac{3}{4}$（3-c）．
將y=$\frac{1}{3}$x+c代入y=-1（x+1）（x-3）中，得
${x}^{2}-\frac{5}{3}x$-（3-c）=0，
由根與系數(shù)的關(guān)系可知：x₁+x₂=-$\frac{-\frac{5}{3}}{1}$=$\frac{5}{3}$．
∵EF被BC平分，
∴EF與BC的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，
即$\frac{3}{4}$（3-c）×2=$\frac{5}{3}$，解得：c=$\frac{17}{9}$．
解方程${x}^{2}-\frac{5}{3}x$-（3-$\frac{17}{9}$）=0，得：x₁=$\frac{5-\sqrt{65}}{6}$，x₂=$\frac{5+\sqrt{65}}{6}$．
∵點(diǎn)E在第一象限，
∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為$\frac{5+\sqrt{65}}{6}$．
將x=$\frac{5+\sqrt{65}}{6}$代入y=$\frac{1}{3}$x+$\frac{17}{9}$中得，y=$\frac{39+\sqrt{65}}{18}$．
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（$\frac{5+\sqrt{65}}{6}$，$\frac{39+\sqrt{65}}{18}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、兩點(diǎn)間的距離公式以及根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵：（1）找出C點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）用含m的代數(shù)式表示AD的長(zhǎng)度；（3）由根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)找出關(guān)于c的一元一次方程．本題屬于中檔題，（1）（2）沒(méi)有難度；（3）難度不小，由于數(shù)據(jù)較大，帶來(lái)運(yùn)算的麻煩．解決該類題型時(shí)，聯(lián)立直線與二次函數(shù)的關(guān)系式，利用根與系數(shù)的關(guān)系來(lái)表示出兩根之和能給解題帶來(lái)極大的方便．