Question

8．如圖，C為∠AOB的邊OB上一點，OC=10，N為邊OA上異于點O的一動點，P是線段CN上一點，過點P分別作PQ∥OB交OA于點Q，PM∥OA交OB于點M．
（1）若OM=6，OQ=2，求ON的長；
（2）若點N在邊OA上運動時，始終保持PQ=OQ．
①問：$\frac{1}{OM}$-$\frac{1}{ON}$的值是否發(fā)生變化？請說明理由；
②設(shè)四邊形OMPQ的面積為S₁，△OCN的面積為S₂，求$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出CM=4，由平行線證出△MPC∽△ONC，得出$\frac{MP}{ON}=\frac{MC}{OC}$，證出四邊形OMPQ為平行四邊形，得出PM=OQ=2，代入比例式即可求出ON的長；
（2）設(shè)PQ=OQ=x，①證出四邊形OQPM是菱形，得出OM=x，MC=10-x，由（1）得：$\frac{MP}{ON}=\frac{MC}{OC}$，得出$\frac{1}{ON}=\frac{10-x}{10x}$，求出$\frac{1}{OM}-\frac{1}{ON}$=$\frac{1}{10}$即可；
②由平行線證出△PMC∽△NOC，△NQP∽△NOC，∴得出$\frac{{S}_{△PMC}}{{S}_{△NOC}}$=$\frac{（10-x）^{2}}{100}$，$\frac{{S}_{△NQP}}{{S}_{△NOC}}$=$\frac{{x}^{2}}{100}$，得出S₁=S_△NOC-S_△PMC-S_△NQP=$\frac{-{x}^{2}+10x}{50}$S₂，求出$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}=\frac{-{x}^{2}+10x}{50}$=-$\frac{1}{50}$（x-50）²+$\frac{1}{2}$，即可得出結(jié)果．

解答 解：（1）∵OM=6，OC=10，
∴CM=4，
∵M(jìn)P∥OA，
∴△MPC∽△ONC，
∴$\frac{MP}{ON}=\frac{MC}{OC}$，
∵PQ∥OB，PM∥OA，
∴四邊形OMPQ為平行四邊形，
∴PM=OQ=2，
∴$\frac{2}{ON}=\frac{4}{10}$，
∴ON=5；
（2）設(shè)PQ=OQ=x，
①$\frac{1}{OM}$-$\frac{1}{ON}$的值不發(fā)生變化，理由如下：
∵PQ∥OB，PM∥OA，PQ=OQ=x，
∴四邊形OQPM是菱形，
∴OM=x，MC=10-x，
由（1）得：$\frac{MP}{ON}=\frac{MC}{OC}$，
∴$\frac{x}{ON}=\frac{10-x}{10}$，
∴$\frac{1}{ON}=\frac{10-x}{10x}$，
∴$\frac{1}{OM}-\frac{1}{ON}$=$\frac{1}{x}$-$\frac{10-x}{10x}$=$\frac{1}{10}$，
∴$\frac{1}{OM}$-$\frac{1}{ON}$的值不發(fā)生變化；
②∵PQ∥OB，PM∥OA，
∴△PMC∽△NOC，△NQP∽△NOC，
∴$\frac{{S}_{△PMC}}{{S}_{△NOC}}$=（$\frac{MC}{OC}$）²=$\frac{（10-x）^{2}}{100}$，$\frac{{S}_{△NQP}}{{S}_{△NOC}}$=（$\frac{QP}{OC}$）²=$\frac{{x}^{2}}{100}$，
∴S₁=S_△NOC-S_△PMC-S_△NQP=${S}_{2}-\frac{（10-x）^{2}}{100}{S}_{2}-\frac{{x}^{2}}{100}{S}_{2}$=$\frac{-{x}^{2}+10x}{50}$S₂，
∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}=\frac{-{x}^{2}+10x}{50}$=-$\frac{1}{50}$（x-50）²+$\frac{1}{2}$，
∵0＜x＜10，
∴0＜$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$≤$\frac{1}{2}$．

點評 此題屬于相似形綜合題，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，以及菱形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．