Question

4．探索：（x-1）（x+1）=x²-1（x-1）（x²+x+1）=x³-1（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴-1（x-1）（x⁴+x³+x²+x+1）=x⁵-1，則2⁶+2⁵+2⁴+2³+2²+2+1=127，3²⁰¹⁶+3²⁰¹⁵+3²⁰¹⁴+…+3²+3+1=$\frac{{3}^{2017}-1}{2}$．

Answer 1

分析 將原式變形為（2-1）（2⁶+2⁵+2⁴+2³+2²+2+1），利用（x-1）（xⁿ+x^n-1+x^n-2+…+x+1）=xⁿ⁺¹-1，進一步計算可得；同理3²⁰¹⁶+3²⁰¹⁵+3²⁰¹⁴+…+3²+3+1=$\frac{1}{2}$×（3-1）（3²⁰¹⁶+3²⁰¹⁵+3²⁰¹⁴+…+3²+3+1）繼而得出答案．

解答 解：由題意知（x-1）（xⁿ+x^n-1+x^n-2+…+x+1）=xⁿ⁺¹-1，
則2⁶+2⁵+2⁴+2³+2²+2+1=（2-1）（2⁶+2⁵+2⁴+2³+2²+2+1）=2⁷-1=127，
3²⁰¹⁶+3²⁰¹⁵+3²⁰¹⁴+…+3²+3+1=$\frac{1}{2}$×（3-1）（3²⁰¹⁶+3²⁰¹⁵+3²⁰¹⁴+…+3²+3+1）=$\frac{{3}^{2017}-1}{2}$，
故答案為：127，$\frac{{3}^{2017}-1}{2}$．

點評 本題主要考查了數字的變化規(guī)律，根據已知等式得出（x-1）（xⁿ+x^n-1+x^n-2+…+x+1）=xⁿ⁺¹-1并將待求式子靈活變形得以運用規(guī)律是解題的關鍵．