Question

13．如圖，△ABC中．AB=AC=5．BC=6．將∠A折疊．使點(diǎn)A落在邊BC上的點(diǎn)D處．折痕為EF，若△BDE是以BD為腰的等腰三角形．則BE=25-10$\sqrt{5}$或$\frac{30}{11}$．

Answer 1

分析 設(shè)BE=x，則AE=5-x，①如圖1，當(dāng)BE=BD=x時，過A作AH⊥BC，根據(jù)勾股定理得到AH=$\sqrt{A{B}^{2}-B{H}^{2}}$=4，過E作EG⊥BC于G，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到EG=$\frac{4}{5}$x，BG=$\frac{3}{5}$x，求得DG=$\frac{2}{5}$x，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到DE=AE=5-x，根據(jù)勾股定理求得BE=25-10$\sqrt{5}$；②如圖2，當(dāng)BD=DE時，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到BE=$\frac{30}{11}$．

解答 解：設(shè)BE=x，則AE=5-x，
①如圖1，當(dāng)BE=BD=x時，
過A作AH⊥BC，
∵AB=AC，
∴BH=$\frac{1}{2}$BC=3，
∴AH=$\sqrt{A{B}^{2}-B{H}^{2}}$=4，
過E作EG⊥BC于G，
則EG∥AH，
∴△BGE∽△BHA，
∴$\frac{GE}{AH}=\frac{BG}{BH}=\frac{BE}{AB}$，
即$\frac{EG}{4}=\frac{BG}{3}=\frac{x}{5}$，
∴EG=$\frac{4}{5}$x，BG=$\frac{3}{5}$x，
∴DG=$\frac{2}{5}$x，
∵將∠A折疊．使點(diǎn)A落在邊BC上的點(diǎn)D處．
∴DE=AE=5-x，
∵DE²=DG²+EG²，
∴（5-x）²=（$\frac{2}{5}$x）²+（$\frac{4}{5}$x）²，
解得：x=25-10$\sqrt{5}$，x=25+10$\sqrt{5}$（不合題意，舍去），
∴BE=25-10$\sqrt{5}$；
②如圖2，當(dāng)BD=DE時，
∴∠B=∠BED，
∴∠BED=∠C，
∴△BDE∽△BAC，
∴$\frac{BE}{BC}=\frac{DE}{AC}$，
∵將∠A折疊．使點(diǎn)A落在邊BC上的點(diǎn)D處．
∴DE=AE=5-x，
∴$\frac{x}{6}=\frac{5-x}{5}$，
∴x=$\frac{30}{11}$，
∴BE=$\frac{30}{11}$，
故答案為：25-10$\sqrt{5}$或$\frac{30}{11}$．

點(diǎn)評 本題考查了翻折變換-折疊問題，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．