Question

18．如圖，正方形ABCD中，AB=2，M是AB的中點(diǎn)．連MC，點(diǎn)P，Q分別是MC，BC上任意一點(diǎn)，則PQ+PB的最小值為$\frac{8}{5}$．

Answer 1

分析 如圖，作點(diǎn)B關(guān)于CM的對(duì)稱點(diǎn)B′，作B′Q⊥BC與CM的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{BB′}{CM}=\frac{B′Q}{BC}$，由M是AB的中點(diǎn)，得到BM=1，根據(jù)勾股定理得到CM=$\sqrt{B{M}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{5}$，由三角形的面積公式得到BB′=2×$\frac{BM•BC}{CM}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，于是得到結(jié)論．

解答 解：如圖，作點(diǎn)B關(guān)于CM的對(duì)稱點(diǎn)B′，作B′Q⊥BC與CM的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P，
∵∠B′+∠B′BQ=90°，
∠BCM+∠B′BQ=90°，
∴∠B′=∠BCM，
又∵∠ABC=∠BQB′=90°，
∴△BCM∽△B′QB，
∴$\frac{BB′}{CM}=\frac{B′Q}{BC}$，
∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)，
∴BM=1，
∴CM=$\sqrt{B{M}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴BB′=2×$\frac{BM•BC}{CM}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴$\frac{\frac{4\sqrt{5}}{5}}{\sqrt{5}}$=$\frac{B′Q}{2}$，
∴B′Q=$\frac{8}{5}$，
∴PQ+PB的最小值=$\frac{8}{5}$，
故答案為：$\frac{8}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題，正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積公式，確定出點(diǎn)P的位置是解題的關(guān)鍵．