Question

17．如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC為直徑的圓O交斜邊AB于D．過(guò)D作DE⊥AC于E，將△ADE沿直線AB翻折得到△ADF．
（1）求證：DF是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為5，sin∠FAD=$\frac{3}{5}$，延長(zhǎng)FD交BC于G，求DG的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由△ADE沿直線AB翻折得到△ADF，得到∠DAE=∠DAF，∠AED=∠F=90°，由于OA=OD，于是得到∠DAE=∠ODA，根據(jù)平行線的判定定理得到OD∥AF，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到OD⊥DF，于是得到結(jié)論；
（2）連接DC，由于AC是⊙O的直徑，即CD⊥AB；又FD與BC均是⊙O的切線且相交于點(diǎn)G由切線長(zhǎng)定理可得：GD=GC，于是得到∠GDC=∠GCD，由于GD是R_t△BDC斜邊上的中線，即GD=$\frac{1}{2}$BC，由于△ADE沿直線AB翻折得到△ADF，得到sin∠DAE=sin∠DAF=$\frac{3}{5}$，解直角三角形得到sin∠DAC=$\frac{DC}{AC}=\frac{DC}{10}=\frac{3}{5}$，得DC=6，由勾股定理得AD=8；根據(jù)三角形相似即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：∵△ADE沿直線AB翻折得到△ADF，
∴∠DAE=∠DAF，∠AED=∠F=90°，
又∵OA=OD，
∴∠DAE=∠ODA，
∴∠DAF=∠ODA，
∴OD∥AF，
∴∠ODF+∠F=180°，
∴∠ODF=90°，
∴OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切線；

（2）連接DC，
∵AC是⊙O的直徑，
∴∠ADC=90°，即CD⊥AB；
又∵FD與BC均是⊙O的切線且相交于點(diǎn)G，
由切線長(zhǎng)定理可得：GD=GC，
∴∠GDC=∠GCD，
又∵R_t△BDC中，∠GCD+∠B=90°，∠GDC+∠GDB=90°，
∴∠B=∠GDB，
∴GD=GB，
∴GD是R_t△BDC斜邊上的中線，即GD=$\frac{1}{2}$BC，
∵△ADE沿直線AB翻折得到△ADF，
∴∠DAE=∠DAF，
∴sin∠DAE=sin∠DAF=$\frac{3}{5}$，
又∵⊙O的半徑為5，
∴AC=10，
R_t△DAC中，∠ADC=90°，
∴sin∠DAC=$\frac{DC}{AC}=\frac{DC}{10}=\frac{3}{5}$，得DC=6，
由勾股定理得AD=8；
在R_t△ADC與R_t△ACB中，∠ADC=∠ACB=90°，∠DAC=∠BAC，
∴R_t△ADC∽R(shí)_t△ACB，
∴$\frac{CD}{BC}=\frac{AD}{AC}$，即$\frac{6}{BC}=\frac{8}{10}$，解得BC=$\frac{15}{2}$；
∴GD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{15}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，圖形變換-翻折，證得三角形全等是解題的關(guān)鍵．