Question

19．如圖，已知?ABCD的面積是S，依次連接?ABCD各邊中點(diǎn)構(gòu)成第二個(gè)平行四邊形?EFGH，再依次連接第二個(gè)平行四邊形各邊中點(diǎn)構(gòu)成第三個(gè)平行四邊形，…以此類推，則第109個(gè)平行四邊形的面積為$\frac{1}{{2}^{108}}$S．

Answer 1

分析 連接EG，HF，相交于點(diǎn)O，有平行四邊形的判定方法和平行四邊形的性質(zhì)：被對(duì)角線分的兩個(gè)三角形的面積相等，可得新生成的平行四邊形和前一個(gè)四邊形的面積之間的關(guān)系，得出規(guī)律，按此規(guī)律即可求出第109個(gè)平行四邊形的面積．

解答 解：連接EG，HF，相交于點(diǎn)O，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵H和F為中點(diǎn)，
∴AH=BF，
∴四邊形ABFH為平行四邊形，
∴AE∥HO，
同理可證：EO∥AH，
∴四邊形AEOH是平行四邊形，
∵EH是對(duì)角線，
∴S_△AEH=S_△EOH=$\frac{1}{2}$S_AEOH，
同理可得：S_△EOF=S_△BEF=$\frac{1}{2}$S_{四邊形EBFO}，S_△CFG=S_△FOG=$\frac{1}{2}$S_{四邊形FOGC}，S_△DHG=S_△HOG=$\frac{1}{2}$S_{四邊形HOGD}，
∴S_{四邊形EFGH}=$\frac{1}{2}$S_{四邊形ABCD}=$\frac{1}{2}$S，
∴第三個(gè)平行四邊形的面積為$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$S，
以此類推，可知每一個(gè)新生成的平行四邊形都為前一個(gè)平行四邊形面積的$\frac{1}{2}$，
∴第109個(gè)平行四邊形的面積=$\frac{1}{{2}^{108}}$S．
故答案為$\frac{1}{{2}^{108}}$S．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行四邊形的判定和平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找到規(guī)律，根據(jù)規(guī)律求出第109個(gè)平行四邊形的面積．