Question

20．【問題提出】
已知任意三角形的兩邊及夾角（是銳角），求三角形的面積．
【問題探究】
為了解決上述問題，讓我們從特殊到一般展開探究．
探究一：在Rt△ABC（圖1）中，∠ABC=90°，AC=b，BC=a，∠C=α，求△ABC的面積（用含a、b、α的代數(shù)式表示）
在Rt△ABC中，∠ABC=90°
∴sinα=$\frac{AB}{AC}$
∴AB=b•sinα
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AB=$\frac{1}{2}$absinα
探究二：
銳角△ABC（圖2）中，AC=b，BC=a，∠C=α（0°＜α＜90°）
求：△ABC的面積．（用含a、b、α的代數(shù)式表示）
探究三：
鈍角△ABC（圖3）中，AC=b，BC=a，∠C=α（0°＜α＜90°）
求：△ABC的面積．（用含a、b、α的代數(shù)式表示）
【問題解決】
用文字敘述：已知任意三角形的兩邊及夾角（是銳角），求三角形面積的方法是S=$\frac{1}{2}$absin∠C（∠C是a、b兩邊的夾角）
【問題應(yīng)用】
已知平行四邊形ABCD（圖4）中，AB=b，BC=a，∠B=α（0°＜α＜90°）
求：平行四邊形ABCD的面積．（用含a、b、α的代數(shù)式表示）

Answer 1

分析 探究二：如圖2中，作AH⊥CB于H．求出高AH，即可解決問題；
探究三：如圖3中，作AH⊥CB于H．求出高AH，即可解決問題；
問題解決：S=$\frac{1}{2}$absin∠C（∠C是a、b兩邊的夾角）；
問題應(yīng)用：如圖4中，作AH⊥CB于H．求出高AH，即可解決問題；

解答 解：探究二：如圖2中，作AH⊥CB于H．

在Rt△AHC中，∠AHC=90°
∴sinα=$\frac{AH}{AC}$
∴AH=b•sinα
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AH=$\frac{1}{2}$absinα

探究三：如圖3中，作AH⊥CB于H．

在Rt△AHC中，∠AHC=90°
∴sinα=$\frac{AH}{AC}$，
∴AH=b•sinα
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AH=$\frac{1}{2}$absinα

問題解決：S=$\frac{1}{2}$absin∠C（∠C是a、b兩邊的夾角），
故答案為S=$\frac{1}{2}$absin∠C（∠C是a、b兩邊的夾角）．

問題應(yīng)用：如圖4中，作AH⊥CB于H．

在Rt△AHB中，∠AHB=90°
∴sinα=$\frac{AH}{AB}$，
∴AH=b•sinα
∴S_{平行四邊形ABCD}=BC•AH=absinα．

點評 本題考查四邊形綜合題、三角形的面積、平行四邊形的面積、銳角三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考創(chuàng)新題目．