Question

9．如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=CD=2，∠C=60°，M是BC的中點(diǎn)．
（1）求證：△MDC是等邊三角形；
（2）將△MDC繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)，當(dāng)MD（即MD′）與線段AB交于一點(diǎn)E，MC（即MC′）同時與線段AD交于一點(diǎn)F時，點(diǎn)E、F和點(diǎn)A構(gòu)成△AEF，點(diǎn)E、F和點(diǎn)M構(gòu)成△MEF，試判斷△MEF的形狀．△MEF的形狀是等邊三角形．（直接寫出結(jié)論）
（3）在（2）的條件下，探究將△MDC繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)的過程中是否存在點(diǎn)E、F，使△AEF的周長最小，周時△AEF的面積也最大？若存在，請說明理由并求出此時△AEF的周長最小值和△AEF的面積最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）連接BD，首先證明出∠ADB=∠DBC，結(jié)合題干條件得到∠BDC=90°，進(jìn)而得到DC=MD，即可△MDC是等邊三角形；
（2）連接AM，由（1）平行四邊形ABMD是菱形，△MAB，△MAD和△MC′D′是等邊三角形，根據(jù)ASA證明△BME≌△AMF，于是得到BE=AF，ME=MF，AE+AF=AE+BE=AB，結(jié)合∠EMF=∠DMC=60°，即可證明△MEF是等邊三角形；
（3）過D作DN⊥BC于N，首先由勾股定理求出DN的長，△AEF的周長最小則邊長最短，MF的最小值為點(diǎn)M到AD的距離等于DN的長，據(jù)此求出△AEF的周長最小值和△AEF的面積最大值．

解答 解：（1）連接BD，
∵AD=AB，
∴∠ADB=∠ABD，
又∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵在等腰梯形ABCD中，∠B=∠C=60°，
∴∠ABD=∠DBC=30°，
∴∠BDC=90°，
∴DC=MC，
∴△MDC是等邊三角形；

（2）解：連接AM，如圖2，由（1）平行四邊形ABMD是菱形，
△MAB，△MAD和△MC′D′是等邊三角形，
∠BMA=∠BME+∠AME=60°，∠EMF=∠AMF+∠AME=60°，
∴∠BME=∠AMF，
在△BME與△AMF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠FAM}\\{BM=AM}\\{∠BME=∠AMF}\end{array}\right.$，
∴△BME≌△AMF（ASA），
∴BE=AF，ME=MF，AE+AF=AE+BE=AB，
∵∠EMF=∠DMC=60°，
故△EMF是等邊三角形；

（3）過D作DN⊥BC于N，如圖2
∵∠C=60°，
∴∠CDN=30°，
∵CD=2，
∴CN=1，
∴由勾股定理得：DN=$\sqrt{3}$，
∵△EMF是等邊三角形，
∴EF=MF，
∵M(jìn)F的最小值為點(diǎn)M到AD的距離等于DN的長，即是$\sqrt{3}$，即EF的最小值是$\sqrt{3}$，
△AEF的周長=AE+AF+EF=AB+EF，
△AEF的周長的最小值為2+$\sqrt{3}$，
此時△AEF面積=$\frac{1}{2}$S_{平行四邊形AMBN}-S_△EMF，
即$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\sqrt{3}$×$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
答：存在，△AEF的周長的最小值為2+$\sqrt{3}$，△AEF的面積最大值為$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了幾何變換的綜合題，此題涉及到等邊三角形的性質(zhì)和判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰梯形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，此題第三問有一定的難度，找出等邊三角形EMF邊的最小值等于點(diǎn)M到AD的距離等于DN的長是解答本小題的難點(diǎn)．