Question

17．如圖，拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+mx+n與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D，已知A（-1，0），C（0，2）．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)E是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線與拋物線相交于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形CDBF的面積最大？求出四邊形CDBF的最大面積及此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△PCD是等腰三角形？如果存在，直接寫(xiě)出P點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由待定系數(shù)法建立二元一次方程組求出m、n的值即可；
（2）先求出BC的解析式，設(shè)出點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為a，由四邊形CDBF的面積=S_△BCD+S_△CEF+S_△BEF求出S與a的關(guān)系式，由二次函數(shù)的性質(zhì)就可以求出結(jié)論．
（3）分兩種情形討論①當(dāng)PD=DC時(shí)，當(dāng)CP=CD時(shí)，分別寫(xiě)出點(diǎn)P坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）∵A（-1，0），C（0，2）在拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+mx+n上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{n=2}\\{-\frac{1}{2}-m+2=0}\end{array}\right.$
∴$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{3}{2}}\\{n=2}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2．
（2）令y=0，則-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2=0，解得x=4或-1，
∴點(diǎn)B坐標(biāo)（4，0），
設(shè)直線BC為y=kx+b，則$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直線BC解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+2，
設(shè)出點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為a
∴EF=E_y-F_y=-$\frac{1}{2}$a²+2a（0≤a≤4），
∴S_{四邊形CDBF}=S_△BCD+S_△CEF+S_△BEF
=$\frac{1}{2}$BD×OC+$\frac{1}{2}$EF×CM+$\frac{1}{2}$EF×BN
=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$×2+$\frac{1}{2}$×（-$\frac{1}{2}$a²+2a）×4
=-a²+4a+$\frac{5}{2}$
=-（a-2）²+$\frac{13}{2}$．
∴a=2時(shí)，四邊形CDBF面積最大，此時(shí)點(diǎn)E坐標(biāo)（2，1）．
∴此時(shí)點(diǎn)E是BC中點(diǎn)，
∴當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到BC中點(diǎn)時(shí)，四邊形CDBF面積最大，最大面積為$\frac{13}{2}$，此時(shí)點(diǎn)E坐標(biāo)（2，1）．
（3）存在．
理由：∵C（0，2），D（$\frac{3}{2}$，0），
∴CD=$\sqrt{{2}^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{5}{2}$，
①當(dāng)PD=DC時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo)（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$）或（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{2}$）．
②當(dāng)CP=CD時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo)（$\frac{3}{2}$，4），
③當(dāng)CP=DP時(shí)，
設(shè)P（$\frac{3}{2}$，n），
∴DP=|n|，CP=$\sqrt{\frac{9}{4}+（n-2）^{2}}$，
∴|n|=$\sqrt{\frac{9}{4}+（n-2）^{2}}$，
∴n=$\frac{25}{16}$，
∴P（$\frac{3}{2}$，$\frac{25}{16}$）
∴當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$）或（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{2}$）或（$\frac{3}{2}$，-4）或（$\frac{3}{2}$，$\frac{25}{16}$）時(shí)，△PCD是以CD為腰的等腰三角形．

點(diǎn)評(píng) 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，二次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，四邊形的面積的運(yùn)用，解答時(shí)求出函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．