Question

9．已知一元二次方程M：x²-bx-c=0和N：y²+cy+b=0
（1）若方程M的兩個(gè)根分別為x₁=-1，x₂=3，求b，c的值及方程N(yùn)的兩根；
（2）若方程M和N有且只有一個(gè)根相同，則這個(gè)根是-1，此時(shí)b-c=-1；
（3）若x為方程M的根，y為方程N(yùn)的根，是否存在x，y，使下列四個(gè)代數(shù)式①?x+y②?x-y?③$\frac{x}{y}$④xy的數(shù)值中有且僅有三個(gè)數(shù)值相同．若存在，請(qǐng)求出x和y的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可得b、c的值，再代入方程N(yùn)求解可得；
（2）設(shè)方程M和N相同的根為m，則m²-bm-c=0 ①，m²+cm+b=0 ②，②-①可得m的值，即可知答案；
（3）由y≠0得①和②不相等，從而得出相等的只有①③④或②③④，據(jù)此解方程可得．

解答 解：（1）根據(jù)題意知，-1+3=b，-1×3=-c，
∴b=2，c=3，
則方程N(yùn)為：y²+3y+2=0，即（y+2）（y+1）=0，
解得：y₁=-1，y₂=-2；

（2）設(shè)方程M和N相同的根為m，則m²-bm-c=0 ①，m²+cm+b=0 ②，
②-①，得：（b+c）（m+1）=0，
∴m=-1，即方程程M和N有且只有一個(gè)根相同，這個(gè)根是-1，
將x=-1代入x²-bx-c=0，得：1+b-c=0，
∴b-c=-1，
故答案為：-1，-1；

（3）∵y≠0，
∴x+y≠x-y，
∴根據(jù)題意知，有如下兩種情況：
①x+y=$\frac{x}{y}$=xy，
由$\frac{x}{y}$=xy得x（y+1）（y-1）=0，
∴x=0或y=1或y=-1，
當(dāng)x=0時(shí)，由x+y=$\frac{x}{y}$得y=0，不符合題意，舍去；
當(dāng)y=1時(shí)，x+1=x，不成立，舍去；
當(dāng)y=-1時(shí)，x-1=-x，解得：x=$\frac{1}{2}$；
②x-y=$\frac{x}{y}$=xy，
由①知x=0或y=1或y=-1，
當(dāng)x=0時(shí)，0-y=0，得y=0，舍去；
當(dāng)y=1時(shí)，x-1=x，不成立，舍去；
當(dāng)y=-1時(shí)，x+1=-x，解得x=-$\frac{1}{2}$，
綜上，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}}\\{y=-1}\end{array}\right.$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查根與系數(shù)的關(guān)系及解方程的能力，根據(jù)代數(shù)式有意義條件判斷出相等的只有①③④或②③④兩種情況是關(guān)鍵．