Question

8．若對于多項式x²+2x+3，當x取x₁、x₂（x₁≠x₂）時，多項式的值相等；當x取x₃、x₄（x₃≠x₄）時，多項式的值相等；當x取x₅、x₆（x₅≠x₆）時，多項式的值相等；…；當x取x₂₀₁₃、x₂₀₁₄（x₂₀₁₃≠x₂₀₁₄）時，多項式的值相等；則當x=-1時，（x-x₁）²+（x-x₂）²+（x-x₃）²+（x-x₄）²…+（x-x₂₀₁₃）²+（x-x₂₀₁₄）²的值最小．

Answer 1

分析 設(shè)y=x²+2x+3，得出y=（x+1）²+2，由題意可知x₁與x₂，x₃與x₄，x₅與x₆，…x₂₀₁₃與x₂₀₁₄關(guān)于直線x=-1對稱，根據(jù)（x-x₁）²+（x-x₂）²是點x到x₁，x₂兩點距離的平方，當x=-1時這個距離的值最小，同理可得當x=-1時，（x-x₁）²+（x-x₂）²+（x-x₃）²+（x-x₄）²…+（x-x₂₀₁₃）²+（x-x₂₀₁₄）²的值最�。�

解答 解：設(shè)y=x²+2x+3，
則y=（x+1）²+2，
由題意可知x₁與x₂，x₃與x₄，x₅與x₆，…x₂₀₁₃與x₂₀₁₄關(guān)于直線x=-1對稱．
即x₁與x₂，x₃與x₄，x₅與x₆，…x₂₀₁₃與x₂₀₁₄對直線x=-1的距離相等．
而（x-x₁）²+（x-x₂）²是點x到x₁，x₂兩點距離的平方，則當x=-1時這個距離的值最小，
同理（x-x₃）²+（x-x₄）²當x=-1時距離最小．
則當=-1時，（x-x₁）²+（x-x₂）²+（x-x₃）²+（x-x₄）²…+（x-x₂₀₁₃）²+（x-x₂₀₁₄）²的值最�。�
故答案為：-1．

點評 此題考查了方差，關(guān)鍵是根據(jù)y=（x+1）²+2得出x₁與x₂，x₃與x₄，x₅與x₆，…x₂₀₁₃與x₂₀₁₄關(guān)于直線x=-1對稱．